x^3+8x^2+3x+24=0 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$\left(3 x + \left(x^{3} + 8 x^{2}\right)\right) + 24 = 0$$
cambiamos
$$\left(3 x + \left(\left(8 x^{2} + \left(x^{3} + 512\right)\right) - 512\right)\right) + 24 = 0$$
o
$$\left(3 x + \left(\left(8 x^{2} + \left(x^{3} - \left(-8\right)^{3}\right)\right) - 8 \left(-8\right)^{2}\right)\right) - -24 = 0$$
$$3 \left(x + 8\right) + \left(8 \left(x^{2} - \left(-8\right)^{2}\right) + \left(x^{3} - \left(-8\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$3 \left(x + 8\right) + \left(\left(x - 8\right) 8 \left(x + 8\right) + \left(x + 8\right) \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + \left(-8\right)^{2}\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común 8 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x + 8\right) \left(\left(8 \left(x - 8\right) + \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + \left(-8\right)^{2}\right)\right) + 3\right) = 0$$
o
$$\left(x + 8\right) \left(x^{2} + 3\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = -8$$
y además
obtenemos la ecuación
$$x^{2} + 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 3$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (3) = -12

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = - \sqrt{3} i$$
Entonces la respuesta definitiva es para x^3 + 8*x^2 + 3*x + 24 = 0:
$$x_{1} = -8$$
$$x_{2} = \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = - \sqrt{3} i$$