Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación x^2-4x+5=0
-
Ecuación x^2+3x+2=0
-
Ecuación -25-x=-17
-
Ecuación x^2+3x=4
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- 10*x-2*y=0
- 1*x+4*y=20
- 3*x-7*y=13
- 13*x-15*y=-6
- Integral de d{x}:
- 2x^3+1
-
Expresiones idénticas
- 2x^ tres + uno
- 2x al cubo más 1
- 2x en el grado tres más uno
- 2x3+1
- 2x³+1
- 2x en el grado 3+1
-
Expresiones semejantes
- 2x^3-1
2x^3+1 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$2 x^{3} + 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-1}$$
o
$$\sqrt[3]{2} x = \sqrt[3]{-1}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2^(1/3)
Obtenemos la respuesta: x = (-1)^(1/3)*2^(2/3)/2
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = - \frac{1}{2}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - \frac{1}{2}$$
donde
$$r = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
$$z_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
$$2 x^{3} + 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-1}$$
o
$$\sqrt[3]{2} x = \sqrt[3]{-1}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
x*2^1/3 = (-1)^(1/3)
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x*2^1/3 = -1^1/3
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2^(1/3)
x = (-1)^(1/3) / (2^(1/3))
Obtenemos la respuesta: x = (-1)^(1/3)*2^(2/3)/2
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = - \frac{1}{2}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - \frac{1}{2}$$
donde
$$r = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
$$z_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
Teorema de Cardano-Vieta
reescribamos la ecuación
$$2 x^{3} + 1 = 0$$
de
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
como ecuación cúbica reducida
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} + \frac{1}{2} = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \frac{1}{2}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = \frac{1}{2}$$
$$2 x^{3} + 1 = 0$$
de
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
como ecuación cúbica reducida
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} + \frac{1}{2} = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \frac{1}{2}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = \frac{1}{2}$$
Respuesta rápida
[src]
2/3
-2
x1 = ------
2
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
2/3 2/3 ___
2 I*2 *\/ 3
x2 = ---- - ------------
4 4
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
2/3 2/3 ___
2 I*2 *\/ 3
x3 = ---- + ------------
4 4
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
x3 = 2^(2/3)/4 + 2^(2/3)*sqrt(3)*i/4
Suma y producto de raíces
[src]
suma
2/3 2/3 2/3 ___ 2/3 2/3 ___ 2 2 I*2 *\/ 3 2 I*2 *\/ 3 - ---- + ---- - ------------ + ---- + ------------ 2 4 4 4 4
$$\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
2/3 / 2/3 2/3 ___\ / 2/3 2/3 ___\ -2 |2 I*2 *\/ 3 | |2 I*2 *\/ 3 | ------*|---- - ------------|*|---- + ------------| 2 \ 4 4 / \ 4 4 /
$$- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right) \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}\right)$$
=
-1/2
$$- \frac{1}{2}$$
-1/2
Respuesta numérica
[src]
x1 = -0.7937005259841
x2 = 0.39685026299205 - 0.687364818499301*i
x3 = 0.39685026299205 + 0.687364818499301*i
x3 = 0.39685026299205 + 0.687364818499301*i