Sr Examen
Otras calculadoras
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¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación 2x^2-x-1=x^2-5x-(-1-x^2)
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Ecuación x^2+4=5x
-
Ecuación x(x^2+2x+1)=6(x+1)
-
Ecuación 4x+1=-3x+15
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -6*x-20*y=8
- 13*x-12*y=19
- -9*x+11*y=9
- -4*x-8*y=-20
-
Expresiones idénticas
- treinta mil =((((veinte mil *x)*x)*x)*x)*x
- 30000 es igual a ((((20000 multiplicar por x) multiplicar por x) multiplicar por x) multiplicar por x) multiplicar por x
- treinta mil es igual a ((((veinte mil multiplicar por x) multiplicar por x) multiplicar por x) multiplicar por x) multiplicar por x
- 30000=((((20000x)x)x)x)x
- 30000=20000xxxxx
30000=((((20000*x)*x)*x)*x)*x la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$30000 = x x x x 20000 x$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 5 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 5 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[5]{20000} \sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{30000}$$
o
$$2 \cdot 5^{\frac{4}{5}} x = \sqrt[5]{30000}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2*5^(4/5)
Obtenemos la respuesta: x = 48^(1/5)/2
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{5} = \frac{3}{2}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{5} e^{5 i p} = \frac{3}{2}$$
donde
$$r = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$30000 = x x x x 20000 x$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 5 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 5 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[5]{20000} \sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{30000}$$
o
$$2 \cdot 5^{\frac{4}{5}} x = \sqrt[5]{30000}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
2*x*5^4/5 = 30000^(1/5)
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
2*x*5^4/5 = 30000^1/5
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2*5^(4/5)
x = 30000^(1/5) / (2*5^(4/5))
Obtenemos la respuesta: x = 48^(1/5)/2
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{5} = \frac{3}{2}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{5} e^{5 i p} = \frac{3}{2}$$
donde
$$r = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___________ ___________ ___________ ___________
/ ___ / ___ / ___ / ___
4/5 5 ___ / 5 \/ 5 4/5 5 ___ / 5 \/ 5 4/5 5 ___ / 5 \/ 5 4/5 5 ___ / 5 \/ 5
4/5 5 ___ 4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - + ----- 4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - + ----- 4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - - ----- 4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - - -----
2 *\/ 3 2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8 2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8 2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8 2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8
---------- + - ---------- + ---------------- - ----------------------------- + - ---------- + ---------------- + ----------------------------- + - ---------- - ---------------- - ----------------------------- + - ---------- - ---------------- + -----------------------------
2 8 8 2 8 8 2 8 8 2 8 8 2
$$\left(\left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right) + \left(\left(\frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2} + \left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}\right)\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ ___________\ / ___________\ / ___________\ / ___________\
| / ___ | | / ___ | | / ___ | | / ___ |
| 4/5 5 ___ / 5 \/ 5 | | 4/5 5 ___ / 5 \/ 5 | | 4/5 5 ___ / 5 \/ 5 | | 4/5 5 ___ / 5 \/ 5 |
4/5 5 ___ | 4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - + ----- | | 4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - + ----- | | 4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - - ----- | | 4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - - ----- |
2 *\/ 3 | 2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8 | | 2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8 | | 2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8 | | 2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8 |
----------*|- ---------- + ---------------- - -----------------------------|*|- ---------- + ---------------- + -----------------------------|*|- ---------- - ---------------- - -----------------------------|*|- ---------- - ---------------- + -----------------------------|
2 \ 8 8 2 / \ 8 8 2 / \ 8 8 2 / \ 8 8 2 /
$$\frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2} \left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)$$
=
3/2
$$\frac{3}{2}$$
3/2
Respuesta rápida
[src]
4/5 5 ___
2 *\/ 3
x1 = ----------
2
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$
___________
/ ___
4/5 5 ___ / 5 \/ 5
4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - + -----
2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8
x2 = - ---------- + ---------------- - -----------------------------
8 8 2
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
___________
/ ___
4/5 5 ___ / 5 \/ 5
4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - + -----
2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8
x3 = - ---------- + ---------------- + -----------------------------
8 8 2
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
___________
/ ___
4/5 5 ___ / 5 \/ 5
4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - - -----
2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8
x4 = - ---------- - ---------------- - -----------------------------
8 8 2
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
___________
/ ___
4/5 5 ___ / 5 \/ 5
4/5 5 ___ 4/5 5 ___ ___ I*2 *\/ 3 * / - - -----
2 *\/ 3 2 *\/ 3 *\/ 5 \/ 8 8
x5 = - ---------- - ---------------- + -----------------------------
8 8 2
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
x5 = -2^(4/5)*3^(1/5)*sqrt(5)/8 - 2^(4/5)*3^(1/5)/8 + 2^(4/5)*3^(1/5)*i*sqrt(5/8 - sqrt(5)/8)/2
Respuesta numérica
[src]
x1 = 0.335120207219988 + 1.03139394473572*i
x2 = 0.335120207219988 - 1.03139394473572*i
x3 = -0.877356092818838 - 0.637436513637504*i
x4 = 1.0844717711977
x5 = -0.877356092818838 + 0.637436513637504*i
x5 = -0.877356092818838 + 0.637436513637504*i