sqrt(x-3)+sqrt(5-x)=2 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 3} = 2$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 3}\right)^{2} = 4$$
o
$$1^{2} \left(5 - x\right) + \left(2 \sqrt{\left(5 - x\right) \left(x - 3\right)} + 1^{2} \left(x - 3\right)\right) = 4$$
o
$$2 \sqrt{- x^{2} + 8 x - 15} + 2 = 4$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{- x^{2} + 8 x - 15} = 2$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$- 4 x^{2} + 32 x - 60 = 4$$
$$- 4 x^{2} + 32 x - 60 = 4$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 4 x^{2} + 32 x - 64 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = 32$$
$$c = -64$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(32)^2 - 4 * (-4) * (-64) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.

x = -b/2a = -32/2/(-4)

$$x_{1} = 4$$

Como
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 15} = 1$$
y
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 15} \geq 0$$
entonces
$$1 \geq 0$$
$$x_{1} = 4$$
comprobamos:
$$x_{1} = 4$$
$$\sqrt{5 - x_{1}} + \sqrt{x_{1} - 3} - 2 = 0$$
=
$$-2 + \left(\sqrt{-3 + 4} + \sqrt{5 - 4}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 4$$