√(log(3)x+2)=2log(3)x-2 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x \log{\left(3 \right)} + 2} = x 2 \log{\left(3 \right)} - 2$$
$$\sqrt{x \log{\left(3 \right)} + 2} = 2 x \log{\left(3 \right)} - 2$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x \log{\left(3 \right)} + 2 = \left(2 x \log{\left(3 \right)} - 2\right)^{2}$$
$$x \log{\left(3 \right)} + 2 = 4 x^{2} \log{\left(3 \right)}^{2} - 8 x \log{\left(3 \right)} + 4$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 4 x^{2} \log{\left(3 \right)}^{2} + 9 x \log{\left(3 \right)} - 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = - 4 \log{\left(3 \right)}^{2}$$
$$b = 9 \log{\left(3 \right)}$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(9*log(3))^2 - 4 * (-4*log(3)^2) * (-2) = 49*log(3)^2

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{1}{4 \log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{2}{\log{\left(3 \right)}}$$

Como
$$\sqrt{x \log{\left(3 \right)} + 2} = 2 x \log{\left(3 \right)} - 2$$
y
$$\sqrt{x \log{\left(3 \right)} + 2} \geq 0$$
entonces
$$2 x \log{\left(3 \right)} - 2 \geq 0$$
o
$$x < \infty$$
$$\frac{1}{\log{\left(3 \right)}} \leq x$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = \frac{2}{\log{\left(3 \right)}}$$