x-3sqrt(x-1)+1=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\left(x - 3 \sqrt{x - 1}\right) + 1 = 0$$
$$- 3 \sqrt{x - 1} = - x - 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$9 x - 9 = \left(- x - 1\right)^{2}$$
$$9 x - 9 = x^{2} + 2 x + 1$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 7 x - 10 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 7$$
$$c = -10$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(7)^2 - 4 * (-1) * (-10) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$

Como
$$\sqrt{x - 1} = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$$
y
$$\sqrt{x - 1} \geq 0$$
entonces
$$\frac{x}{3} + \frac{1}{3} \geq 0$$
o
$$-1 \leq x$$
$$x < \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$