Tenemos la ecuación:
$$\frac{x - 2}{x^{2} + 3 x} - \frac{2}{x} = \frac{x - 1}{x + 3}$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$- \frac{x^{2} + 8}{x \left(x + 3\right)} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces
x no es igual a 0
denominador
$$x + 3$$
entonces
x no es igual a -3
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$- x^{2} - 8 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$- x^{2} - 8 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 0$$
$$c = -8$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (-1) * (-8) = -32
Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2} i$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{2} i$$
pero
x no es igual a 0
x no es igual a -3
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2} i$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{2} i$$