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12*x+2*x^3-9*x^2-9=0

12*x+2*x^3-9*x^2-9=0 la ecuación

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v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src] 
          3      2        
12*x + 2*x  - 9*x  - 9 = 0
$$\left(- 9 x^{2} + \left(2 x^{3} + 12 x\right)\right) - 9 = 0$$
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\left(- 9 x^{2} + \left(2 x^{3} + 12 x\right)\right) - 9 = 0$$
cambiamos
$$\left(12 x + \left(\left(- 9 x^{2} + \left(2 x^{3} - 54\right)\right) + 81\right)\right) - 36 = 0$$
o
$$\left(12 x + \left(\left(- 9 x^{2} + \left(2 x^{3} - 2 \cdot 3^{3}\right)\right) + 9 \cdot 3^{2}\right)\right) + \left(-12\right) 3 = 0$$
$$12 \left(x - 3\right) + \left(- 9 \left(x^{2} - 3^{2}\right) + 2 \left(x^{3} - 3^{3}\right)\right) = 0$$
$$12 \left(x - 3\right) + \left(- 9 \left(x - 3\right) \left(x + 3\right) + 2 \left(x - 3\right) \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 3^{2}\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común -3 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x - 3\right) \left(\left(- 9 \left(x + 3\right) + 2 \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 3^{2}\right)\right) + 12\right) = 0$$
o
$$\left(x - 3\right) \left(2 x^{2} - 3 x + 3\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = 3$$
y además
obtenemos la ecuación
$$2 x^{2} - 3 x + 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = -3$$
$$c = 3$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (2) * (3) = -15

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es para 12*x + 2*x^3 - 9*x^2 - 9 = 0:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4}$$
Teorema de Cardano-Vieta
reescribamos la ecuación
$$\left(- 9 x^{2} + \left(2 x^{3} + 12 x\right)\right) - 9 = 0$$
de
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
como ecuación cúbica reducida
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + 6 x - \frac{9}{2} = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = - \frac{9}{2}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 6$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{9}{2}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = \frac{9}{2}$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 6$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{9}{2}$$
Gráfica
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Respuesta rápida [src] 
x1 = 3
$$x_{1} = 3$$ 
             ____
     3   I*\/ 15 
x2 = - - --------
     4      4
$$x_{2} = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4}$$ 
             ____
     3   I*\/ 15 
x3 = - + --------
     4      4
$$x_{3} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4}$$ 
x3 = 3/4 + sqrt(15)*i/4
Suma y producto de raíces [src] 
suma
            ____           ____
    3   I*\/ 15    3   I*\/ 15 
3 + - - -------- + - + --------
    4      4       4      4
$$\left(3 + \left(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4}\right)\right) + \left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4}\right)$$ 
=
9/2
$$\frac{9}{2}$$ 
producto
  /        ____\ /        ____\
  |3   I*\/ 15 | |3   I*\/ 15 |
3*|- - --------|*|- + --------|
  \4      4    / \4      4    /
$$3 \left(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4}\right) \left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4}\right)$$ 
=
9/2
$$\frac{9}{2}$$ 
9/2
Respuesta numérica [src] 
x1 = 3.0
x2 = 0.75 - 0.968245836551854*i
x3 = 0.75 + 0.968245836551854*i
x3 = 0.75 + 0.968245836551854*i
Gráfico
12*x+2*x^3-9*x^2-9=0 la ecuación
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