Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación x=(x+1)/2
- Ecuación (x-6)(-5x-9)=0
-
Ecuación x^2-14*x+33=0
-
Ecuación 5-x^2=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -17*x-12*y=-9
- 18*x+17*y=-14
- 14*x-10*y=-4
- -17*x-8*y=7
-
Expresiones idénticas
- x^ tres + cuatro *sqrt(tres)+ cuatro *i= cero
- x al cubo más 4 multiplicar por raíz cuadrada de (3) más 4 multiplicar por i es igual a 0
- x en el grado tres más cuatro multiplicar por raíz cuadrada de (tres) más cuatro multiplicar por i es igual a cero
- x^3+4*√(3)+4*i=0
- x3+4*sqrt(3)+4*i=0
- x3+4*sqrt3+4*i=0
- x³+4*sqrt(3)+4*i=0
- x en el grado 3+4*sqrt(3)+4*i=0
- x^3+4sqrt(3)+4i=0
- x3+4sqrt(3)+4i=0
- x3+4sqrt3+4i=0
- x^3+4sqrt3+4i=0
- x^3+4*sqrt(3)+4*i=O
-
Expresiones semejantes
- x^3-4*sqrt(3)+4*i=0
- x^3+4*sqrt(3)-4*i=0
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x-a)+abs(x+a)=4
- sqrt(2*x^2+8*x+7)-2=x
- sqrt^4(17x^2-16)=x
- sqrt(0,5+(sinx)^2)+c0s2x=1
- sqrt4(4x+5-x^2)-sqrt(4x-x^2-3)=1
x^3+4*sqrt(3)+4*i=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$\left(x^{3} + 4 \sqrt{3}\right) + 4 i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{- 4 \sqrt{3} - 4 i}$$
o
$$x = \sqrt[3]{- 4 \sqrt{3} - 4 i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: x = 2^(2/3)*(-i - sqrt(3))^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = - 4 \sqrt{3} - 4 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - 4 \sqrt{3} - 4 i$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{1}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{18}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 2 \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$z_{2} = - \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$z_{3} = - \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2 \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$x_{2} = - \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$x_{3} = - \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$\left(x^{3} + 4 \sqrt{3}\right) + 4 i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{- 4 \sqrt{3} - 4 i}$$
o
$$x = \sqrt[3]{- 4 \sqrt{3} - 4 i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = -4*i+4*sqrt+3)^1/3
Obtenemos la respuesta: x = 2^(2/3)*(-i - sqrt(3))^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = - 4 \sqrt{3} - 4 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - 4 \sqrt{3} - 4 i$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{1}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{18}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 2 \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$z_{2} = - \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$z_{3} = - \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2 \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$x_{2} = - \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$x_{3} = - \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 4 \sqrt{3} + 4 i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 4 \sqrt{3} + 4 i$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 4 \sqrt{3} + 4 i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 4 \sqrt{3} + 4 i$$
Gráfica
Respuesta rápida
[src]
/5*pi\ /5*pi\
x1 = 2*cos|----| - 2*I*sin|----|
\ 18 / \ 18 /
$$x_{1} = 2 \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
/5*pi\ / ___ /5*pi\ /5*pi\\ ___ /5*pi\
x2 = - cos|----| + I*|- \/ 3 *cos|----| + sin|----|| - \/ 3 *sin|----|
\ 18 / \ \ 18 / \ 18 // \ 18 /
$$x_{2} = - \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \left(- \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}\right)$$
/5*pi\ / ___ /5*pi\ /5*pi\\ ___ /5*pi\
x3 = - cos|----| + I*|\/ 3 *cos|----| + sin|----|| + \/ 3 *sin|----|
\ 18 / \ \ 18 / \ 18 // \ 18 /
$$x_{3} = - \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \left(\sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}\right)$$
x3 = -cos(5*pi/18) + sqrt(3)*sin(5*pi/18) + i*(sin(5*pi/18) + sqrt(3)*cos(5*pi/18))
Suma y producto de raíces
[src]
suma
/5*pi\ /5*pi\ /5*pi\ / ___ /5*pi\ /5*pi\\ ___ /5*pi\ /5*pi\ / ___ /5*pi\ /5*pi\\ ___ /5*pi\
2*cos|----| - 2*I*sin|----| + - cos|----| + I*|- \/ 3 *cos|----| + sin|----|| - \/ 3 *sin|----| + - cos|----| + I*|\/ 3 *cos|----| + sin|----|| + \/ 3 *sin|----|
\ 18 / \ 18 / \ 18 / \ \ 18 / \ 18 // \ 18 / \ 18 / \ \ 18 / \ 18 // \ 18 /
$$\left(\left(2 \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}\right) + \left(- \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \left(- \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}\right)\right)\right) + \left(- \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \left(\sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}\right)\right)$$
=
/ ___ /5*pi\ /5*pi\\ / ___ /5*pi\ /5*pi\\ /5*pi\ I*|\/ 3 *cos|----| + sin|----|| + I*|- \/ 3 *cos|----| + sin|----|| - 2*I*sin|----| \ \ 18 / \ 18 // \ \ 18 / \ 18 // \ 18 /
$$- 2 i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \left(- \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}\right) + i \left(\sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}\right)$$
producto
/ /5*pi\ /5*pi\\ / /5*pi\ / ___ /5*pi\ /5*pi\\ ___ /5*pi\\ / /5*pi\ / ___ /5*pi\ /5*pi\\ ___ /5*pi\\ |2*cos|----| - 2*I*sin|----||*|- cos|----| + I*|- \/ 3 *cos|----| + sin|----|| - \/ 3 *sin|----||*|- cos|----| + I*|\/ 3 *cos|----| + sin|----|| + \/ 3 *sin|----|| \ \ 18 / \ 18 // \ \ 18 / \ \ 18 / \ 18 // \ 18 // \ \ 18 / \ \ 18 / \ 18 // \ 18 //
$$\left(2 \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}\right) \left(- \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \left(- \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}\right)\right) \left(- \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \left(\sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}\right)\right)$$
=
3/5*pi\ / /2*pi\\ 2/5*pi\ /5*pi\ 3/5*pi\
8*cos |----| - I*|3 + 6*cos|----|| - 24*sin |----|*cos|----| + 8*I*sin |----|
\ 18 / \ \ 9 // \ 18 / \ 18 / \ 18 /
$$- 24 \sin^{2}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + 8 \cos^{3}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - i \left(3 + 6 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) + 8 i \sin^{3}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
8*cos(5*pi/18)^3 - i*(3 + 6*cos(2*pi/9)) - 24*sin(5*pi/18)^2*cos(5*pi/18) + 8*i*sin(5*pi/18)^3
Respuesta numérica
[src]
x1 = 0.684040286651337 + 1.87938524157182*i
x2 = 1.28557521937308 - 1.53208888623796*i
x3 = -1.96961550602442 - 0.347296355333861*i
x3 = -1.96961550602442 - 0.347296355333861*i