sqrt(5*x-4)-sqrt(x+3)=1 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{x + 3} + \sqrt{5 x - 4} = 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{x + 3} + \sqrt{5 x - 4}\right)^{2} = 1$$
o
$$1^{2} \left(5 x - 4\right) + \left(- 2 \sqrt{\left(x + 3\right) \left(5 x - 4\right)} + \left(-1\right)^{2} \left(x + 3\right)\right) = 1$$
o
$$6 x - 2 \sqrt{5 x^{2} + 11 x - 12} - 1 = 1$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{5 x^{2} + 11 x - 12} = 2 - 6 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$20 x^{2} + 44 x - 48 = \left(2 - 6 x\right)^{2}$$
$$20 x^{2} + 44 x - 48 = 36 x^{2} - 24 x + 4$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 16 x^{2} + 68 x - 52 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -16$$
$$b = 68$$
$$c = -52$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(68)^2 - 4 * (-16) * (-52) = 1296

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{13}{4}$$

Como
$$\sqrt{5 x^{2} + 11 x - 12} = 3 x - 1$$
y
$$\sqrt{5 x^{2} + 11 x - 12} \geq 0$$
entonces
$$3 x - 1 \geq 0$$
o
$$\frac{1}{3} \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{13}{4}$$
comprobamos:
$$x_{1} = 1$$
$$- \sqrt{x_{1} + 3} + \sqrt{5 x_{1} - 4} - 1 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{1 + 3} + \sqrt{-4 + 5}\right) - 1 = 0$$
=

-2 = 0

- No
$$x_{2} = \frac{13}{4}$$
$$- \sqrt{x_{2} + 3} + \sqrt{5 x_{2} - 4} - 1 = 0$$
=
$$-1 + \left(- \sqrt{3 + \frac{13}{4}} + \sqrt{-4 + \frac{5 \cdot 13}{4}}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = \frac{13}{4}$$