x+6*√x-27=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\left(6 \sqrt{x} + x\right) - 27 = 0$$
$$6 \sqrt{x} = 27 - x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$36 x = \left(27 - x\right)^{2}$$
$$36 x = x^{2} - 54 x + 729$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 90 x - 729 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 90$$
$$c = -729$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(90)^2 - 4 * (-1) * (-729) = 5184

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = 81$$

Como
$$\sqrt{x} = \frac{9}{2} - \frac{x}{6}$$
y
$$\sqrt{x} \geq 0$$
entonces
$$\frac{9}{2} - \frac{x}{6} \geq 0$$
o
$$x \leq 27$$
$$-\infty < x$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 9$$