Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(12 x + \left(12 x^{2} + 16 x^{2}\right)\right) + 3}{32 x^{2} + 16 x} = 1$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
16*x + 32*x^2
obtendremos:
$$\frac{\left(32 x^{2} + 16 x\right) \left(\left(12 x + \left(12 x^{2} + 16 x^{2}\right)\right) + 3\right)}{32 x^{2} + 16 x} = 32 x^{2} + 16 x$$
$$28 x^{2} + 12 x + 3 = 16 x \left(2 x + 1\right)$$
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.
La ecuación se convierte de
$$28 x^{2} + 12 x + 3 = 16 x \left(2 x + 1\right)$$
en
$$- 4 x^{2} - 4 x + 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = -4$$
$$c = 3$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-4)^2 - 4 * (-4) * (3) = 64
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$