(x-1)^3=-8 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\left(x - 1\right)^{3} = -8$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{3}} = \sqrt[3]{-8}$$
o
$$x - 1 = 2 \sqrt[3]{-1}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

-1 + x = -2*1^1/3

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 1 + 2 \sqrt[3]{-1}$$
Obtenemos la respuesta: x = 1 + 2*(-1)^(1/3)

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x - 1$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = -8$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = -8$$
donde
$$r = 2$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$
hacemos cambio inverso
$$z = x - 1$$
$$x = z + 1$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = 2 + \sqrt{3} i$$