Sr Examen
Otras calculadoras
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¿Cómo usar?
- La ecuación:
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Ecuación x^4+2*x^2-8=0
-
Ecuación x*(x^2+8*x+16)=5*(x+4)
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Ecuación -25-x=-17
-
Ecuación x^2+3x=4
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -18*x-2*y=9
- -14*x+10*y=19
- -9*x+1*y=3
- -17*x+1*y=-11
-
Expresiones idénticas
- sqrtx^ tres - cuatro *x/x^ dos = cero
- raíz cuadrada de x al cubo menos 4 multiplicar por x dividir por x al cuadrado es igual a 0
- raíz cuadrada de x en el grado tres menos cuatro multiplicar por x dividir por x en el grado dos es igual a cero
- √x^3-4*x/x^2=0
- sqrtx3-4*x/x2=0
- sqrtx³-4*x/x²=0
- sqrtx en el grado 3-4*x/x en el grado 2=0
- sqrtx^3-4x/x^2=0
- sqrtx3-4x/x2=0
- sqrtx^3-4*x/x^2=O
- sqrtx^3-4*x dividir por x^2=0
-
Expresiones semejantes
- sqrtx^3+4*x/x^2=0
-
Expresiones con funciones
- sqrtx
- sqrtx+4+x-2=0
- sqrtx=(x+6)
- sqrtx*ctg(6x)
- sqrtx-3=1-x
- sqrtx^3+4sqrtx^3+8=6
sqrtx^3-4*x/x^2=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
3
___ 4*x
\/ x - --- = 0
2
x
$$\left(\sqrt{x}\right)^{3} - \frac{4 x}{x^{2}} = 0$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$\left(\sqrt{x}\right)^{3} - \frac{4 x}{x^{2}} = 0$$
cambiamos
$$x^{\frac{5}{2}} = 4$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 5/2 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2/5:
Obtenemos:
$$\left(x^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{2}{5}} = 4^{\frac{2}{5}}$$
o
$$x = 2^{\frac{4}{5}}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: x = 2^(4/5)
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{\frac{5}{2}} = 4$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\left(r e^{i p}\right)^{\frac{5}{2}} = 4$$
donde
$$r = 2^{\frac{4}{5}}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{\frac{5 i p}{2}} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(\frac{5 p}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{5 p}{2} \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(\frac{5 p}{2} \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(\frac{5 p}{2} \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{4 \pi N}{5}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 2^{\frac{4}{5}}$$
$$z_{2} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)^{2}$$
$$z_{3} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)^{2}$$
$$z_{4} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)^{2}$$
$$z_{5} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)^{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2^{\frac{4}{5}}$$
$$x_{2} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)^{2}$$
$$x_{3} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)^{2}$$
$$x_{4} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)^{2}$$
$$x_{5} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)^{2}$$
$$\left(\sqrt{x}\right)^{3} - \frac{4 x}{x^{2}} = 0$$
cambiamos
$$x^{\frac{5}{2}} = 4$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 5/2 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2/5:
Obtenemos:
$$\left(x^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{2}{5}} = 4^{\frac{2}{5}}$$
o
$$x = 2^{\frac{4}{5}}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = 2^4/5
Obtenemos la respuesta: x = 2^(4/5)
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{\frac{5}{2}} = 4$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\left(r e^{i p}\right)^{\frac{5}{2}} = 4$$
donde
$$r = 2^{\frac{4}{5}}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{\frac{5 i p}{2}} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(\frac{5 p}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{5 p}{2} \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(\frac{5 p}{2} \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(\frac{5 p}{2} \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{4 \pi N}{5}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 2^{\frac{4}{5}}$$
$$z_{2} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)^{2}$$
$$z_{3} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)^{2}$$
$$z_{4} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)^{2}$$
$$z_{5} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)^{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2^{\frac{4}{5}}$$
$$x_{2} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)^{2}$$
$$x_{3} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)^{2}$$
$$x_{4} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)^{2}$$
$$x_{5} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)^{2}$$
Respuesta rápida
[src]
4/5 x1 = 2
$$x_{1} = 2^{\frac{4}{5}}$$
2 ___________
/ 2/5 2/5 ___\ / ___\ / ___ / 2/5 2/5 ___\
| 2 2 *\/ 5 | 4/5 |5 \/ 5 | 2/5 / 5 \/ 5 | 2 2 *\/ 5 |
x2 = |- ---- + ----------| - 2 *|- + -----| - 2*I*2 * / - + ----- *|- ---- + ----------|
\ 4 4 / \8 8 / \/ 8 8 \ 4 4 /
$$x_{2} = - 2^{\frac{4}{5}} \left(\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4}\right)^{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{5}} i \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4}\right) \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
2 ___________
/ 2/5 2/5 ___\ / ___\ / ___ / 2/5 2/5 ___\
| 2 2 *\/ 5 | 4/5 |5 \/ 5 | 2/5 / 5 \/ 5 | 2 2 *\/ 5 |
x3 = |- ---- + ----------| - 2 *|- + -----| + 2*I*2 * / - + ----- *|- ---- + ----------|
\ 4 4 / \8 8 / \/ 8 8 \ 4 4 /
$$x_{3} = - 2^{\frac{4}{5}} \left(\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4}\right)^{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{5}} i \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4}\right) \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
2 ___________
/ 2/5 2/5 ___\ / ___\ / ___ / 2/5 2/5 ___\
| 2 2 *\/ 5 | 4/5 |5 \/ 5 | 2/5 / 5 \/ 5 | 2 2 *\/ 5 |
x4 = |- ---- - ----------| - 2 *|- - -----| - 2*I*2 * / - - ----- *|- ---- - ----------|
\ 4 4 / \8 8 / \/ 8 8 \ 4 4 /
$$x_{4} = - 2^{\frac{4}{5}} \left(\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4}\right)^{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4}\right)$$
2 ___________
/ 2/5 2/5 ___\ / ___\ / ___ / 2/5 2/5 ___\
| 2 2 *\/ 5 | 4/5 |5 \/ 5 | 2/5 / 5 \/ 5 | 2 2 *\/ 5 |
x5 = |- ---- - ----------| - 2 *|- - -----| + 2*I*2 * / - - ----- *|- ---- - ----------|
\ 4 4 / \8 8 / \/ 8 8 \ 4 4 /
$$x_{5} = - 2^{\frac{4}{5}} \left(\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4}\right)^{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4}\right)$$
x5 = -2^(4/5)*(5/8 - sqrt(5)/8) + (-2^(2/5)*sqrt(5)/4 - 2^(2/5)/4)^2 + 2*2^(2/5)*i*sqrt(5/8 - sqrt(5)/8)*(-2^(2/5)*sqrt(5)/4 - 2^(2/5)/4)
Suma y producto de raíces
[src]
suma
2 ___________ 2 ___________ 2 ___________ 2 ___________
/ 2/5 2/5 ___\ / ___\ / ___ / 2/5 2/5 ___\ / 2/5 2/5 ___\ / ___\ / ___ / 2/5 2/5 ___\ / 2/5 2/5 ___\ / ___\ / ___ / 2/5 2/5 ___\ / 2/5 2/5 ___\ / ___\ / ___ / 2/5 2/5 ___\
4/5 | 2 2 *\/ 5 | 4/5 |5 \/ 5 | 2/5 / 5 \/ 5 | 2 2 *\/ 5 | | 2 2 *\/ 5 | 4/5 |5 \/ 5 | 2/5 / 5 \/ 5 | 2 2 *\/ 5 | | 2 2 *\/ 5 | 4/5 |5 \/ 5 | 2/5 / 5 \/ 5 | 2 2 *\/ 5 | | 2 2 *\/ 5 | 4/5 |5 \/ 5 | 2/5 / 5 \/ 5 | 2 2 *\/ 5 |
2 + |- ---- + ----------| - 2 *|- + -----| - 2*I*2 * / - + ----- *|- ---- + ----------| + |- ---- + ----------| - 2 *|- + -----| + 2*I*2 * / - + ----- *|- ---- + ----------| + |- ---- - ----------| - 2 *|- - -----| - 2*I*2 * / - - ----- *|- ---- - ----------| + |- ---- - ----------| - 2 *|- - -----| + 2*I*2 * / - - ----- *|- ---- - ----------|
\ 4 4 / \8 8 / \/ 8 8 \ 4 4 / \ 4 4 / \8 8 / \/ 8 8 \ 4 4 / \ 4 4 / \8 8 / \/ 8 8 \ 4 4 / \ 4 4 / \8 8 / \/ 8 8 \ 4 4 /
$$\left(- 2^{\frac{4}{5}} \left(\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4}\right)^{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4}\right)\right) + \left(\left(\left(2^{\frac{4}{5}} + \left(- 2^{\frac{4}{5}} \left(\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4}\right)^{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{5}} i \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4}\right) \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- 2^{\frac{4}{5}} \left(\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4}\right)^{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{5}} i \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4}\right) \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- 2^{\frac{4}{5}} \left(\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4}\right)^{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4}\right)\right)\right)$$
=
2 2
/ 2/5 2/5 ___\ / 2/5 2/5 ___\ / ___\ / ___\
4/5 | 2 2 *\/ 5 | | 2 2 *\/ 5 | 4/5 |5 \/ 5 | 4/5 |5 \/ 5 |
2 + 2*|- ---- - ----------| + 2*|- ---- + ----------| - 2*2 *|- - -----| - 2*2 *|- + -----|
\ 4 4 / \ 4 4 / \8 8 / \8 8 /
$$- 2 \cdot 2^{\frac{4}{5}} \left(\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}\right) - 2 \cdot 2^{\frac{4}{5}} \left(\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}\right) + 2 \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4}\right)^{2} + 2^{\frac{4}{5}} + 2 \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4}\right)^{2}$$
producto
/ 2 ___________ \ / 2 ___________ \ / 2 ___________ \ / 2 ___________ \
|/ 2/5 2/5 ___\ / ___\ / ___ / 2/5 2/5 ___\| |/ 2/5 2/5 ___\ / ___\ / ___ / 2/5 2/5 ___\| |/ 2/5 2/5 ___\ / ___\ / ___ / 2/5 2/5 ___\| |/ 2/5 2/5 ___\ / ___\ / ___ / 2/5 2/5 ___\|
4/5 || 2 2 *\/ 5 | 4/5 |5 \/ 5 | 2/5 / 5 \/ 5 | 2 2 *\/ 5 || || 2 2 *\/ 5 | 4/5 |5 \/ 5 | 2/5 / 5 \/ 5 | 2 2 *\/ 5 || || 2 2 *\/ 5 | 4/5 |5 \/ 5 | 2/5 / 5 \/ 5 | 2 2 *\/ 5 || || 2 2 *\/ 5 | 4/5 |5 \/ 5 | 2/5 / 5 \/ 5 | 2 2 *\/ 5 ||
2 *||- ---- + ----------| - 2 *|- + -----| - 2*I*2 * / - + ----- *|- ---- + ----------||*||- ---- + ----------| - 2 *|- + -----| + 2*I*2 * / - + ----- *|- ---- + ----------||*||- ---- - ----------| - 2 *|- - -----| - 2*I*2 * / - - ----- *|- ---- - ----------||*||- ---- - ----------| - 2 *|- - -----| + 2*I*2 * / - - ----- *|- ---- - ----------||
\\ 4 4 / \8 8 / \/ 8 8 \ 4 4 // \\ 4 4 / \8 8 / \/ 8 8 \ 4 4 // \\ 4 4 / \8 8 / \/ 8 8 \ 4 4 // \\ 4 4 / \8 8 / \/ 8 8 \ 4 4 //
$$2^{\frac{4}{5}} \left(- 2^{\frac{4}{5}} \left(\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4}\right)^{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{5}} i \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4}\right) \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- 2^{\frac{4}{5}} \left(\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4}\right)^{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{5}} i \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4}\right) \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- 2^{\frac{4}{5}} \left(\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4}\right)^{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4}\right)\right) \left(- 2^{\frac{4}{5}} \left(\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4}\right)^{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4}\right)\right)$$
=
16
$$16$$
16
Respuesta numérica
[src]
x1 = 1.74110112659225
x2 = -1.4085804003385 - 1.02339356496073*i
x3 = -1.4085804003385 + 1.02339356496073*i
x4 = 0.538029837042371 + 1.65588557197439*i
x5 = 0.538029837042371 - 1.65588557197439*i
x5 = 0.538029837042371 - 1.65588557197439*i