Sr Examen
Otras calculadoras
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¿Cómo usar?
- La ecuación:
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Ecuación 2x^2-x-1=x^2-5x-(-1-x^2)
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Ecuación x^2+4=5x
-
Ecuación x(x^2+2x+1)=6(x+1)
-
Ecuación 4x+1=-3x+15
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -6*x-20*y=8
- 13*x-12*y=19
- -9*x+11*y=9
- -4*x-8*y=-20
-
Expresiones idénticas
- Sqtr^ tres (X)= dos
- Sqtr al cubo (X) es igual a 2
- Sqtr en el grado tres (X) es igual a dos
- Sqtr3(X)=2
- Sqtr3X=2
- Sqtr³(X)=2
- Sqtr en el grado 3(X)=2
- Sqtr^3X=2
Sqtr^3(X)=2 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$\left(\sqrt{x}\right)^{3} = 2$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3/2 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2/3:
Obtenemos:
$$\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$$
o
$$x = 2^{\frac{2}{3}}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: x = 2^(2/3)
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{\frac{3}{2}} = 2$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\left(r e^{i p}\right)^{\frac{3}{2}} = 2$$
donde
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{\frac{3 i p}{2}} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(\frac{3 p}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{3 p}{2} \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(\frac{3 p}{2} \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(\frac{3 p}{2} \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{4 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{2}$$
$$z_{3} = \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
$$x_{2} = \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{2}$$
$$x_{3} = \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{2}$$
$$\left(\sqrt{x}\right)^{3} = 2$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3/2 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2/3:
Obtenemos:
$$\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$$
o
$$x = 2^{\frac{2}{3}}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = 2^2/3
Obtenemos la respuesta: x = 2^(2/3)
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{\frac{3}{2}} = 2$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\left(r e^{i p}\right)^{\frac{3}{2}} = 2$$
donde
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{\frac{3 i p}{2}} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(\frac{3 p}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{3 p}{2} \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(\frac{3 p}{2} \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(\frac{3 p}{2} \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{4 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{2}$$
$$z_{3} = \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
$$x_{2} = \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{2}$$
$$x_{3} = \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{2}$$
Suma y producto de raíces
[src]
suma
2/3 2/3 ___ 2/3 2/3 ___
2/3 2 I*2 *\/ 3 2 I*2 *\/ 3
2 + - ---- + ------------ + - ---- - ------------
2 2 2 2
$$\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right) + \left(2^{\frac{2}{3}} + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right)\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ 2/3 2/3 ___\ / 2/3 2/3 ___\
2/3 | 2 I*2 *\/ 3 | | 2 I*2 *\/ 3 |
2 *|- ---- + ------------|*|- ---- - ------------|
\ 2 2 / \ 2 2 /
$$2^{\frac{2}{3}} \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
4
$$4$$
4
Respuesta rápida
[src]
2/3 x1 = 2
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
2/3 2/3 ___
2 I*2 *\/ 3
x2 = - ---- + ------------
2 2
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
2/3 2/3 ___
2 I*2 *\/ 3
x3 = - ---- - ------------
2 2
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
x3 = -2^(2/3)/2 - 2^(2/3)*sqrt(3)*i/2
Respuesta numérica
[src]
x1 = 1.5874010519682
x2 = -0.7937005259841 + 1.3747296369986*i
x3 = -0.7937005259841 - 1.3747296369986*i
x3 = -0.7937005259841 - 1.3747296369986*i