(x+2)^4-4(x+2)^2-5=0 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$\left(\left(x + 2\right)^{4} - 4 \left(x + 2\right)^{2}\right) - 5 = 0$$
Sustituimos
$$v = \left(x + 2\right)^{2}$$
entonces la ecuación será así:
$$v^{2} - 4 v - 5 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = -5$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (-5) = 36

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = 5$$
$$v_{2} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
Como
$$v = \left(x + 2\right)^{2}$$
entonces
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}} - 2$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}} - 2$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}} - 2$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}} - 2$$
entonces:
$$x_{1} = $$
$$- \frac{2}{1} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{1} = -2 + \sqrt{5}$$
$$x_{2} = $$
$$\frac{\left(-1\right) 5^{\frac{1}{2}}}{1} - \frac{2}{1} = - \sqrt{5} - 2$$
$$x_{3} = $$
$$- \frac{2}{1} + \frac{\left(-1\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = -2 + i$$
$$x_{4} = $$
$$- \frac{2}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-1\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = -2 - i$$