Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^3+2)
-
x*e^(-x)^2
-
2*x^3-15*x^2+36*x-32
-
x*(x-4)
-
Expresiones idénticas
- (tres *x- quince)/(sqrt(dos *x)- uno - tres)
- (3 multiplicar por x menos 15) dividir por ( raíz cuadrada de (2 multiplicar por x) menos 1 menos 3)
- (tres multiplicar por x menos quince) dividir por ( raíz cuadrada de (dos multiplicar por x) menos uno menos tres)
- (3*x-15)/(√(2*x)-1-3)
- (3x-15)/(sqrt(2x)-1-3)
- 3x-15/sqrt2x-1-3
- (3*x-15) dividir por (sqrt(2*x)-1-3)
-
Expresiones semejantes
- (3*x-15)/(sqrt(2*x)-1+3)
- (3*x-15)/(sqrt(2*x)+1-3)
- (3*x+15)/(sqrt(2*x)-1-3)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(xˆ2-9)
- sqrt(x),x
- sqrt(x^2-x^4)
- sqrt(x)-5*x^2
- sqrt(x(3-x^2))
Gráfico de la función y = (3*x-15)/(sqrt(2*x)-1-3)
Solución
Ha introducido
[src]
3*x - 15
f(x) = ---------------
_____
\/ 2*x - 1 - 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3}$$
f = (3*x - 15)/(sqrt(2*x) - 1 - 3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 8$$
$$x_{1} = 8$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 5$$
Solución numérica
$$x_{1} = 5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 5$$
Solución numérica
$$x_{1} = 5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3} - \frac{\sqrt{2} \left(3 x - 15\right)}{2 \sqrt{x} \left(\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 11 - 4 \sqrt{6}$$
$$x_{2} = 4 \sqrt{6} + 11$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4 \sqrt{6} + 11$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 11 - 4 \sqrt{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 11 - 4 \sqrt{6}\right] \cup \left[4 \sqrt{6} + 11, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[11 - 4 \sqrt{6}, 4 \sqrt{6} + 11\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3} - \frac{\sqrt{2} \left(3 x - 15\right)}{2 \sqrt{x} \left(\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 11 - 4 \sqrt{6}$$
$$x_{2} = 4 \sqrt{6} + 11$$
Signos de extremos en los puntos:
___
___ 18 - 12*\/ 6
(11 - 4*\/ 6, ----------------------)
______________
/ ___
-4 + \/ 22 - 8*\/ 6 ___
___ 18 + 12*\/ 6
(11 + 4*\/ 6, ----------------------)
______________
/ ___
-4 + \/ 22 + 8*\/ 6 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4 \sqrt{6} + 11$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 11 - 4 \sqrt{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 11 - 4 \sqrt{6}\right] \cup \left[4 \sqrt{6} + 11, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[11 - 4 \sqrt{6}, 4 \sqrt{6} + 11\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{3 \left(\frac{\left(x - 5\right) \left(\frac{4}{x \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)} + \frac{\sqrt{2}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}\right)}{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{201}{\sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}} + 14 + \sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 8$$
$$\lim_{x \to 8^-}\left(\frac{3 \left(\frac{\left(x - 5\right) \left(\frac{4}{x \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)} + \frac{\sqrt{2}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}\right)}{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)^{2}}\right) = \frac{1 \left(-1.21875 + 0.861786389571105 \sqrt{2}\right)}{-64 + 45.254833995939 \sqrt{2}}$$
$$\lim_{x \to 8^+}\left(\frac{3 \left(\frac{\left(x - 5\right) \left(\frac{4}{x \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)} + \frac{\sqrt{2}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}\right)}{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)^{2}}\right) = \frac{1 \left(-1.21875 + 0.861786389571105 \sqrt{2}\right)}{-64 + 45.254833995939 \sqrt{2}}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{201}{\sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}} + 14 + \sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{201}{\sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}} + 14 + \sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{3 \left(\frac{\left(x - 5\right) \left(\frac{4}{x \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)} + \frac{\sqrt{2}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}\right)}{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{201}{\sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}} + 14 + \sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 8$$
$$\lim_{x \to 8^-}\left(\frac{3 \left(\frac{\left(x - 5\right) \left(\frac{4}{x \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)} + \frac{\sqrt{2}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}\right)}{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)^{2}}\right) = \frac{1 \left(-1.21875 + 0.861786389571105 \sqrt{2}\right)}{-64 + 45.254833995939 \sqrt{2}}$$
$$\lim_{x \to 8^+}\left(\frac{3 \left(\frac{\left(x - 5\right) \left(\frac{4}{x \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)} + \frac{\sqrt{2}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}\right)}{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)^{2}}\right) = \frac{1 \left(-1.21875 + 0.861786389571105 \sqrt{2}\right)}{-64 + 45.254833995939 \sqrt{2}}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{201}{\sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}} + 14 + \sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{201}{\sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}} + 14 + \sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 8$$
$$x_{1} = 8$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*x - 15)/(sqrt(2*x) - 1 - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x - 15}{x \left(\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x - 15}{x \left(\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x - 15}{x \left(\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x - 15}{x \left(\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3} = \frac{- 3 x - 15}{\sqrt{2} \sqrt{- x} - 4}$$
- No
$$\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3} = - \frac{- 3 x - 15}{\sqrt{2} \sqrt{- x} - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3} = \frac{- 3 x - 15}{\sqrt{2} \sqrt{- x} - 4}$$
- No
$$\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3} = - \frac{- 3 x - 15}{\sqrt{2} \sqrt{- x} - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar