Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (3*x-15)/(sqrt(2*x)-1-3)

Gráfico de la función y = (3*x-15)/(sqrt(2*x)-1-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           3*x - 15   
f(x) = ---------------
         _____        
       \/ 2*x  - 1 - 3
f(x)=3x−15(2x−1)−3f{\left(x \right)} = \frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3} 
f = (3*x - 15)/(sqrt(2*x) - 1 - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=8x_{1} = 8
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3x−15(2x−1)−3=0\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=5x_{1} = 5
Solución numérica
x1=5x_{1} = 5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*x - 15)/(sqrt(2*x) - 1 - 3).
−15+0⋅3−3+(−1+0⋅2)\frac{-15 + 0 \cdot 3}{-3 + \left(-1 + \sqrt{0 \cdot 2}\right)}
Resultado:
f(0)=154f{\left(0 \right)} = \frac{15}{4}
Punto:
(0, 15/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3(2x−1)−3−2(3x−15)2x((2x−1)−3)2=0\frac{3}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3} - \frac{\sqrt{2} \left(3 x - 15\right)}{2 \sqrt{x} \left(\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=11−46x_{1} = 11 - 4 \sqrt{6}
x2=46+11x_{2} = 4 \sqrt{6} + 11
Signos de extremos en los puntos:
                             ___      
          ___      18 - 12*\/ 6       
(11 - 4*\/ 6, ----------------------)
                       ______________ 
                      /          ___  
               -4 + \/  22 - 8*\/ 6   

                             ___      
          ___      18 + 12*\/ 6       
(11 + 4*\/ 6, ----------------------)
                       ______________ 
                      /          ___  
               -4 + \/  22 + 8*\/ 6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=46+11x_{1} = 4 \sqrt{6} + 11
Puntos máximos de la función:
x1=11−46x_{1} = 11 - 4 \sqrt{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,11−46]∪[46+11,∞)\left(-\infty, 11 - 4 \sqrt{6}\right] \cup \left[4 \sqrt{6} + 11, \infty\right)
Crece en los intervalos
[11−46,46+11]\left[11 - 4 \sqrt{6}, 4 \sqrt{6} + 11\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3((x−5)(4x(2x−4)+2x32)4−2x)(2x−4)2=0\frac{3 \left(\frac{\left(x - 5\right) \left(\frac{4}{x \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)} + \frac{\sqrt{2}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}\right)}{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=20124010+29493+14+24010+29493x_{1} = \frac{201}{\sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}} + 14 + \sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=8x_{1} = 8

lim⁡x→8−(3((x−5)(4x(2x−4)+2x32)4−2x)(2x−4)2)=1(−1.21875+0.8617863895711052)−64+45.2548339959392\lim_{x \to 8^-}\left(\frac{3 \left(\frac{\left(x - 5\right) \left(\frac{4}{x \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)} + \frac{\sqrt{2}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}\right)}{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)^{2}}\right) = \frac{1 \left(-1.21875 + 0.861786389571105 \sqrt{2}\right)}{-64 + 45.254833995939 \sqrt{2}}
lim⁡x→8+(3((x−5)(4x(2x−4)+2x32)4−2x)(2x−4)2)=1(−1.21875+0.8617863895711052)−64+45.2548339959392\lim_{x \to 8^+}\left(\frac{3 \left(\frac{\left(x - 5\right) \left(\frac{4}{x \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)} + \frac{\sqrt{2}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}\right)}{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 4\right)^{2}}\right) = \frac{1 \left(-1.21875 + 0.861786389571105 \sqrt{2}\right)}{-64 + 45.254833995939 \sqrt{2}}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,20124010+29493+14+24010+29493]\left(-\infty, \frac{201}{\sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}} + 14 + \sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}\right]
Convexa en los intervalos
[20124010+29493+14+24010+29493,∞)\left[\frac{201}{\sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}} + 14 + \sqrt[3]{240 \sqrt{10} + 2949}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=8x_{1} = 8
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3x−15(2x−1)−3)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(3x−15(2x−1)−3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*x - 15)/(sqrt(2*x) - 1 - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3x−15x((2x−1)−3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x - 15}{x \left(\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3x−15x((2x−1)−3))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x - 15}{x \left(\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3x−15(2x−1)−3=−3x−152−x−4\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3} = \frac{- 3 x - 15}{\sqrt{2} \sqrt{- x} - 4}
- No
3x−15(2x−1)−3=−−3x−152−x−4\frac{3 x - 15}{\left(\sqrt{2 x} - 1\right) - 3} = - \frac{- 3 x - 15}{\sqrt{2} \sqrt{- x} - 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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