Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^3+2)
-
x*e^(-x)^2
-
2*x^3-15*x^2+36*x-32
-
x*(x-4)
-
Expresiones idénticas
- (x+ uno)/(x*x+ uno)^ dos
- (x más 1) dividir por (x multiplicar por x más 1) al cuadrado
- (x más uno) dividir por (x multiplicar por x más uno) en el grado dos
- (x+1)/(x*x+1)2
- x+1/x*x+12
- (x+1)/(x*x+1)²
- (x+1)/(x*x+1) en el grado 2
- (x+1)/(xx+1)^2
- (x+1)/(xx+1)2
- x+1/xx+12
- x+1/xx+1^2
- (x+1) dividir por (x*x+1)^2
-
Expresiones semejantes
- (x-1)/(x*x+1)^2
- (x+1)/(x*x-1)^2
Gráfico de la función y = (x+1)/(x*x+1)^2
Solución
Ha introducido
[src]
x + 1
f(x) = ----------
2
(x*x + 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{\left(x x + 1\right)^{2}}$$
f = (x + 1)/(x*x + 1)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 1}{\left(x x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -34832.4270840261$$
$$x_{2} = 28749.5424513273$$
$$x_{3} = 35529.1830671647$$
$$x_{4} = -17885.5101822959$$
$$x_{5} = 37224.160496723$$
$$x_{6} = 21970.6266224823$$
$$x_{7} = 33834.2285454912$$
$$x_{8} = 9267.45404568973$$
$$x_{9} = -15344.4829215851$$
$$x_{10} = -9419.33329706892$$
$$x_{11} = 20276.0946617741$$
$$x_{12} = -33984.9574174783$$
$$x_{13} = -23816.0806573264$$
$$x_{14} = 21123.3472938935$$
$$x_{15} = 10959.7950148984$$
$$x_{16} = -29747.7255943491$$
$$x_{17} = 36376.6691166606$$
$$x_{18} = -12804.1871325825$$
$$x_{19} = -26358.1255649569$$
$$x_{20} = 24512.5974895349$$
$$x_{21} = -37374.873078274$$
$$x_{22} = -19579.7911539546$$
$$x_{23} = 11806.2655234967$$
$$x_{24} = 32986.7609668844$$
$$x_{25} = -22968.7707704751$$
$$x_{26} = 40614.1727065763$$
$$x_{27} = -30595.1542455215$$
$$x_{28} = 27054.7245350401$$
$$x_{29} = -11957.667829554$$
$$x_{30} = 16887.4298531687$$
$$x_{31} = -33137.4947143549$$
$$x_{32} = -14497.6168493628$$
$$x_{33} = -22121.4838361446$$
$$x_{34} = -41612.3835710987$$
$$x_{35} = 15193.3840611629$$
$$x_{36} = -17038.4405090108$$
$$x_{37} = -21274.2226481452$$
$$x_{38} = -42459.8980123181$$
$$x_{39} = -20426.9904729273$$
$$x_{40} = -40764.8728987272$$
$$x_{41} = 41461.6860120789$$
$$x_{42} = -18732.6292450164$$
$$x_{43} = -39069.8638512438$$
$$x_{44} = -39917.3662375731$$
$$x_{45} = 31291.8477670117$$
$$x_{46} = 17734.5344763108$$
$$x_{47} = 39766.6632424023$$
$$x_{48} = 16040.3768972116$$
$$x_{49} = -35679.9032124213$$
$$x_{50} = 13499.622908825$$
$$x_{51} = -16191.4281723745$$
$$x_{52} = -32290.0395295242$$
$$x_{53} = 30444.4033541377$$
$$x_{54} = 22817.9297180831$$
$$x_{55} = 29596.9679855437$$
$$x_{56} = 42309.2029299978$$
$$x_{57} = 19428.8721576817$$
$$x_{58} = 14346.4617481587$$
$$x_{59} = -10265.1883488199$$
$$x_{60} = -24663.4110930219$$
$$x_{61} = 38919.1578682278$$
$$x_{62} = -31442.592478417$$
$$x_{63} = 32139.3005164984$$
$$x_{64} = 18581.6838276728$$
$$x_{65} = 10113.508304835$$
$$x_{66} = -27205.5062138373$$
$$x_{67} = 38071.6568546614$$
$$x_{68} = -38222.3660269625$$
$$x_{69} = 25359.9581060261$$
$$x_{70} = 27902.1276363793$$
$$x_{71} = -28052.9005589566$$
$$x_{72} = 26207.3342685621$$
$$x_{73} = 34681.7027350514$$
$$x_{74} = -36527.3853481304$$
$$x_{75} = -11111.3201545584$$
$$x_{76} = -13650.8451413168$$
$$x_{77} = 23665.2540647425$$
$$x_{78} = -28900.3073791784$$
$$x_{79} = 12652.8838720334$$
$$x_{80} = -25510.7599982124$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 1}{\left(x x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -34832.4270840261$$
$$x_{2} = 28749.5424513273$$
$$x_{3} = 35529.1830671647$$
$$x_{4} = -17885.5101822959$$
$$x_{5} = 37224.160496723$$
$$x_{6} = 21970.6266224823$$
$$x_{7} = 33834.2285454912$$
$$x_{8} = 9267.45404568973$$
$$x_{9} = -15344.4829215851$$
$$x_{10} = -9419.33329706892$$
$$x_{11} = 20276.0946617741$$
$$x_{12} = -33984.9574174783$$
$$x_{13} = -23816.0806573264$$
$$x_{14} = 21123.3472938935$$
$$x_{15} = 10959.7950148984$$
$$x_{16} = -29747.7255943491$$
$$x_{17} = 36376.6691166606$$
$$x_{18} = -12804.1871325825$$
$$x_{19} = -26358.1255649569$$
$$x_{20} = 24512.5974895349$$
$$x_{21} = -37374.873078274$$
$$x_{22} = -19579.7911539546$$
$$x_{23} = 11806.2655234967$$
$$x_{24} = 32986.7609668844$$
$$x_{25} = -22968.7707704751$$
$$x_{26} = 40614.1727065763$$
$$x_{27} = -30595.1542455215$$
$$x_{28} = 27054.7245350401$$
$$x_{29} = -11957.667829554$$
$$x_{30} = 16887.4298531687$$
$$x_{31} = -33137.4947143549$$
$$x_{32} = -14497.6168493628$$
$$x_{33} = -22121.4838361446$$
$$x_{34} = -41612.3835710987$$
$$x_{35} = 15193.3840611629$$
$$x_{36} = -17038.4405090108$$
$$x_{37} = -21274.2226481452$$
$$x_{38} = -42459.8980123181$$
$$x_{39} = -20426.9904729273$$
$$x_{40} = -40764.8728987272$$
$$x_{41} = 41461.6860120789$$
$$x_{42} = -18732.6292450164$$
$$x_{43} = -39069.8638512438$$
$$x_{44} = -39917.3662375731$$
$$x_{45} = 31291.8477670117$$
$$x_{46} = 17734.5344763108$$
$$x_{47} = 39766.6632424023$$
$$x_{48} = 16040.3768972116$$
$$x_{49} = -35679.9032124213$$
$$x_{50} = 13499.622908825$$
$$x_{51} = -16191.4281723745$$
$$x_{52} = -32290.0395295242$$
$$x_{53} = 30444.4033541377$$
$$x_{54} = 22817.9297180831$$
$$x_{55} = 29596.9679855437$$
$$x_{56} = 42309.2029299978$$
$$x_{57} = 19428.8721576817$$
$$x_{58} = 14346.4617481587$$
$$x_{59} = -10265.1883488199$$
$$x_{60} = -24663.4110930219$$
$$x_{61} = 38919.1578682278$$
$$x_{62} = -31442.592478417$$
$$x_{63} = 32139.3005164984$$
$$x_{64} = 18581.6838276728$$
$$x_{65} = 10113.508304835$$
$$x_{66} = -27205.5062138373$$
$$x_{67} = 38071.6568546614$$
$$x_{68} = -38222.3660269625$$
$$x_{69} = 25359.9581060261$$
$$x_{70} = 27902.1276363793$$
$$x_{71} = -28052.9005589566$$
$$x_{72} = 26207.3342685621$$
$$x_{73} = 34681.7027350514$$
$$x_{74} = -36527.3853481304$$
$$x_{75} = -11111.3201545584$$
$$x_{76} = -13650.8451413168$$
$$x_{77} = 23665.2540647425$$
$$x_{78} = -28900.3073791784$$
$$x_{79} = 12652.8838720334$$
$$x_{80} = -25510.7599982124$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{4 x \left(x + 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{2}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{2}{3}\right] \cup \left[- \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{4 x \left(x + 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
___
1 \/ 7
___ - + -----
2 \/ 7 3 3
(- - + -----, ---------------------)
3 3 2
/ 2\
| / ___\ |
| | 2 \/ 7 | |
|1 + |- - + -----| |
\ \ 3 3 / / ___
1 \/ 7
___ - - -----
2 \/ 7 3 3
(- - - -----, ---------------------)
3 3 2
/ 2\
| / ___\ |
| | 2 \/ 7 | |
|1 + |- - - -----| |
\ \ 3 3 / / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{2}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{2}{3}\right] \cup \left[- \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{9} - \frac{\sqrt[3]{\frac{206}{27} + \frac{2 \sqrt{303} i}{3}}}{3} - \frac{52}{27 \sqrt[3]{\frac{206}{27} + \frac{2 \sqrt{303} i}{3}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{4 \sqrt{13} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{9 \sqrt{303}}{103} \right)}}{3} \right)}}{9} - \frac{5}{9}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4 \sqrt{13} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{9 \sqrt{303}}{103} \right)}}{3} \right)}}{9} - \frac{5}{9}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{9} - \frac{\sqrt[3]{\frac{206}{27} + \frac{2 \sqrt{303} i}{3}}}{3} - \frac{52}{27 \sqrt[3]{\frac{206}{27} + \frac{2 \sqrt{303} i}{3}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{4 \sqrt{13} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{9 \sqrt{303}}{103} \right)}}{3} \right)}}{9} - \frac{5}{9}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4 \sqrt{13} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{9 \sqrt{303}}{103} \right)}}{3} \right)}}{9} - \frac{5}{9}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{\left(x x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{\left(x x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{\left(x x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{\left(x x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 1)/(x*x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 1}{\left(x x + 1\right)^{2}} = \frac{1 - x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{x + 1}{\left(x x + 1\right)^{2}} = - \frac{1 - x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 1}{\left(x x + 1\right)^{2}} = \frac{1 - x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{x + 1}{\left(x x + 1\right)^{2}} = - \frac{1 - x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar