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y=sqrt(x)/(x+1)-1+2
Trazado el gráfico de la función/ y=sqrt(x)/(x+1)-1+2

Gráfico de la función y = y=sqrt(x)/(x+1)-1+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___        
       \/ x         
f(x) = ----- - 1 + 2
       x + 1
f(x)=(xx+1−1)+2f{\left(x \right)} = \left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} - 1\right) + 2 
f = sqrt(x)/(x + 1) - 1 + 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101.02.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(xx+1−1)+2=0\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} - 1\right) + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x)/(x + 1) - 1 + 2.
(−1+01)+2\left(-1 + \frac{\sqrt{0}}{1}\right) + 2
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x(x+1)2+12x(x+1)=0- \frac{\sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, 3/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Crece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((xx+1−1)+2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} - 1\right) + 2\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞((xx+1−1)+2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} - 1\right) + 2\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x)/(x + 1) - 1 + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((xx+1−1)+2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} - 1\right) + 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((xx+1−1)+2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} - 1\right) + 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(xx+1−1)+2=−x1−x+1\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} - 1\right) + 2 = \frac{\sqrt{- x}}{1 - x} + 1
- No
(xx+1−1)+2=−−x1−x−1\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} - 1\right) + 2 = - \frac{\sqrt{- x}}{1 - x} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=sqrt(x)/(x+1)-1+2
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