Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(5*x)-x^2

Gráfico de la función y = sqrt(5*x)-x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _____    2
f(x) = \/ 5*x  - x
f(x)=−x2+5xf{\left(x \right)} = - x^{2} + \sqrt{5 x} 
f = -x^2 + sqrt(5*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x2+5x=0- x^{2} + \sqrt{5 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=53x_{2} = \sqrt[3]{5}
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1.7099759466767x_{2} = 1.7099759466767
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(5*x) - x^2.
0⋅5−02\sqrt{0 \cdot 5} - 0^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x+5x2x=0- 2 x + \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=223534x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4}
Signos de extremos en los puntos:
  2/3 3 ___    3 ___  2/3     3 ___    2/3 
 2   *\/ 5     \/ 2 *5      2*\/ 2 *2*5    
(----------, - ---------- + --------------)
     4             8              8


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=223534x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,223534]\left(-\infty, \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4}\right]
Crece en los intervalos
[223534,∞)\left[\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(2+54x32)=0- (2 + \frac{\sqrt{5}}{4 x^{\frac{3}{2}}}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x2+5x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + \sqrt{5 x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x2+5x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + \sqrt{5 x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(5*x) - x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x2+5xx)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \sqrt{5 x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−x2+5xx)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \sqrt{5 x}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x2+5x=−x2+5−x- x^{2} + \sqrt{5 x} = - x^{2} + \sqrt{5} \sqrt{- x}
- No
−x2+5x=x2−5−x- x^{2} + \sqrt{5 x} = x^{2} - \sqrt{5} \sqrt{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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