Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((x^2)-9)/(|x-3|)+(|x|/x)+1/((x-2)((x^2)-4x+4)^-1)

Gráfico de la función y = ((x^2)-9)/(|x-3|)+(|x|/x)+1/((x-2)((x^2)-4x+4)^-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         2                           
        x  - 9   |x|         1       
f(x) = ------- + --- + --------------
       |x - 3|    x    /   x - 2    \
                       |------------|
                       | 2          |
                       \x  - 4*x + 4/
f(x)=(x2−9∣x−3∣+∣x∣x)+1(x−2)1(x2−4x)+4f{\left(x \right)} = \left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}} 
f = (x^2 - 9)/|x - 3| + |x|/x + 1/((x - 2)/(x^2 - 4*x + 4))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
x3=3x_{3} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−9∣x−3∣+∣x∣x)+1(x−2)1(x2−4x)+4=0\left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 9)/|x - 3| + |x|/x + 1/((x - 2)/(x^2 - 4*x + 4)).
(−9+02∣−3∣+∣0∣0)+1(−1)21(02−0)+4\left(\frac{-9 + 0^{2}}{\left|{-3}\right|} + \frac{\left|{0}\right|}{0}\right) + \frac{1}{\left(-1\right) 2 \frac{1}{\left(0^{2} - 0\right) + 4}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x∣x−3∣+(x2−4x)+4x−2(−(4−2x)(x−2)((x2−4x)+4)2−1(x2−4x)+4)((x2−4x)+4)x−2−(x2−9)sign⁡(x−3)(x−3)2+sign⁡(x)x−∣x∣x2=0\frac{2 x}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 2} \left(- \frac{\left(4 - 2 x\right) \left(x - 2\right)}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 4\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 4\right)}{x - 2} - \frac{\left(x^{2} - 9\right) \operatorname{sign}{\left(x - 3 \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x} - \frac{\left|{x}\right|}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−82x_{1} = -82
x2=−66x_{2} = -66
x3=−70x_{3} = -70
x4=−5.75x_{4} = -5.75
x5=−18x_{5} = -18
x6=−7.875x_{6} = -7.875
x7=−68x_{7} = -68
x8=−75.875x_{8} = -75.875
x9=−78x_{9} = -78
x10=−52x_{10} = -52
x11=−30x_{11} = -30
x12=−63.75x_{12} = -63.75
x13=−25.875x_{13} = -25.875
x14=−48x_{14} = -48
x15=−46x_{15} = -46
x16=−1.03161669940448⋅1026x_{16} = -1.03161669940448 \cdot 10^{26}
x17=−16x_{17} = -16
x18=−84x_{18} = -84
x19=−20x_{19} = -20
x20=−41.75x_{20} = -41.75
x21=−93.75x_{21} = -93.75
x22=−24x_{22} = -24
x23=−92x_{23} = -92
x24=−1.43x_{24} = -1.43
x25=−54x_{25} = -54
x26=−96x_{26} = -96
x27=−79.75x_{27} = -79.75
x28=−60x_{28} = -60
x29=−85.75x_{29} = -85.75
x30=−31.75x_{30} = -31.75
x31=−90x_{31} = -90
x32=−7.73712524553363⋅1025x_{32} = -7.73712524553363 \cdot 10^{25}
x33=−1.54742504910673⋅1026x_{33} = -1.54742504910673 \cdot 10^{26}
x34=−36x_{34} = -36
x35=−34x_{35} = -34
x36=−58x_{36} = -58
x37=−74x_{37} = -74
x38=−22x_{38} = -22
x39=−28x_{39} = -28
x40=−38x_{40} = -38
x41=−88x_{41} = -88
x42=−62x_{42} = -62
x43=−98x_{43} = -98
x44=−55.75x_{44} = -55.75
x45=−100x_{45} = -100
x46=−10x_{46} = -10
x47=−2x_{47} = -2
x48=−3.09485009821345⋅1026x_{48} = -3.09485009821345 \cdot 10^{26}
x49=−50x_{49} = -50
x50=−12x_{50} = -12
x51=−72x_{51} = -72
x52=−44x_{52} = -44
Signos de extremos en los puntos:
(-82, -5.99999999999999)

(-66, -6)

(-70, -6)

(-5.75, -6)

(-18, -6)

(-7.875, -6)

(-68, -6)

(-75.875, -5.99999999999999)

(-78, -6)

(-52, -6)

(-30, -6)

(-63.75, -6)

(-25.875, -6)

(-48, -6)

(-46, -6)

(-1.0316166994044835e+26, 0)

(-16, -6)

(-84, -5.99999999999999)

(-20, -6)

(-41.75, -6.00000000000001)

(-93.75, -6)

(-24, -6)

(-92, -6)

(-1.43, -6)

(-54, -6)

(-96, -5.99999999999997)

(-79.75, -6)

(-60, -5.99999999999999)

(-85.75, -6)

(-31.75, -6)

(-90, -6)

(-7.737125245533627e+25, 0)

(-1.5474250491067253e+26, 0)

(-36, -6)

(-34, -6)

(-58, -6)

(-74, -6)

(-22, -6)

(-28, -6)

(-38, -6)

(-88, -6)

(-62, -6)

(-98, -6)

(-55.75, -6)

(-100, -6.00000000000001)

(-10, -6)

(-2, -6)

(-3.094850098213451e+26, 0)

(-50, -6)

(-12, -6)

(-72, -6)

(-44, -6)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x52=−82x_{52} = -82
x52=−30x_{52} = -30
x52=−84x_{52} = -84
x52=−93.75x_{52} = -93.75
x52=−96x_{52} = -96
x52=−60x_{52} = -60
x52=−34x_{52} = -34
x52=−28x_{52} = -28
Decrece en los intervalos
(−∞,−96]\left(-\infty, -96\right]
Crece en los intervalos
[−28,∞)\left[-28, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
x3=3x_{3} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−9∣x−3∣+∣x∣x)+1(x−2)1(x2−4x)+4)=−6\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}\right) = -6
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−6y = -6
lim⁡x→∞((x2−9∣x−3∣+∣x∣x)+1(x−2)1(x2−4x)+4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 9)/|x - 3| + |x|/x + 1/((x - 2)/(x^2 - 4*x + 4)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−9∣x−3∣+∣x∣x)+1(x−2)1(x2−4x)+4x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x2−9∣x−3∣+∣x∣x)+1(x−2)1(x2−4x)+4x)=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}}{x}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=2xy = 2 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−9∣x−3∣+∣x∣x)+1(x−2)1(x2−4x)+4=x2−9∣x+3∣+x2+4x+4−x−2−∣x∣x\left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}} = \frac{x^{2} - 9}{\left|{x + 3}\right|} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{- x - 2} - \frac{\left|{x}\right|}{x}
- No
(x2−9∣x−3∣+∣x∣x)+1(x−2)1(x2−4x)+4=−x2−9∣x+3∣−x2+4x+4−x−2+∣x∣x\left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}} = - \frac{x^{2} - 9}{\left|{x + 3}\right|} - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{- x - 2} + \frac{\left|{x}\right|}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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