Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 2} \left(- \frac{\left(4 - 2 x\right) \left(x - 2\right)}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 4\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 4\right)}{x - 2} - \frac{\left(x^{2} - 9\right) \operatorname{sign}{\left(x - 3 \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x} - \frac{\left|{x}\right|}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -82$$
$$x_{2} = -66$$
$$x_{3} = -70$$
$$x_{4} = -5.75$$
$$x_{5} = -18$$
$$x_{6} = -7.875$$
$$x_{7} = -68$$
$$x_{8} = -75.875$$
$$x_{9} = -78$$
$$x_{10} = -52$$
$$x_{11} = -30$$
$$x_{12} = -63.75$$
$$x_{13} = -25.875$$
$$x_{14} = -48$$
$$x_{15} = -46$$
$$x_{16} = -1.03161669940448 \cdot 10^{26}$$
$$x_{17} = -16$$
$$x_{18} = -84$$
$$x_{19} = -20$$
$$x_{20} = -41.75$$
$$x_{21} = -93.75$$
$$x_{22} = -24$$
$$x_{23} = -92$$
$$x_{24} = -1.43$$
$$x_{25} = -54$$
$$x_{26} = -96$$
$$x_{27} = -79.75$$
$$x_{28} = -60$$
$$x_{29} = -85.75$$
$$x_{30} = -31.75$$
$$x_{31} = -90$$
$$x_{32} = -7.73712524553363 \cdot 10^{25}$$
$$x_{33} = -1.54742504910673 \cdot 10^{26}$$
$$x_{34} = -36$$
$$x_{35} = -34$$
$$x_{36} = -58$$
$$x_{37} = -74$$
$$x_{38} = -22$$
$$x_{39} = -28$$
$$x_{40} = -38$$
$$x_{41} = -88$$
$$x_{42} = -62$$
$$x_{43} = -98$$
$$x_{44} = -55.75$$
$$x_{45} = -100$$
$$x_{46} = -10$$
$$x_{47} = -2$$
$$x_{48} = -3.09485009821345 \cdot 10^{26}$$
$$x_{49} = -50$$
$$x_{50} = -12$$
$$x_{51} = -72$$
$$x_{52} = -44$$
Signos de extremos en los puntos:
(-82, -5.99999999999999)
(-66, -6)
(-70, -6)
(-5.75, -6)
(-18, -6)
(-7.875, -6)
(-68, -6)
(-75.875, -5.99999999999999)
(-78, -6)
(-52, -6)
(-30, -6)
(-63.75, -6)
(-25.875, -6)
(-48, -6)
(-46, -6)
(-1.0316166994044835e+26, 0)
(-16, -6)
(-84, -5.99999999999999)
(-20, -6)
(-41.75, -6.00000000000001)
(-93.75, -6)
(-24, -6)
(-92, -6)
(-1.43, -6)
(-54, -6)
(-96, -5.99999999999997)
(-79.75, -6)
(-60, -5.99999999999999)
(-85.75, -6)
(-31.75, -6)
(-90, -6)
(-7.737125245533627e+25, 0)
(-1.5474250491067253e+26, 0)
(-36, -6)
(-34, -6)
(-58, -6)
(-74, -6)
(-22, -6)
(-28, -6)
(-38, -6)
(-88, -6)
(-62, -6)
(-98, -6)
(-55.75, -6)
(-100, -6.00000000000001)
(-10, -6)
(-2, -6)
(-3.094850098213451e+26, 0)
(-50, -6)
(-12, -6)
(-72, -6)
(-44, -6)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{52} = -82$$
$$x_{52} = -30$$
$$x_{52} = -84$$
$$x_{52} = -93.75$$
$$x_{52} = -96$$
$$x_{52} = -60$$
$$x_{52} = -34$$
$$x_{52} = -28$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -96\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[-28, \infty\right)$$