Sr Examen

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Gráfico de la función y = ((x^2)-9)/(|x-3|)+(|x|/x)+1/((x-2)((x^2)-4x+4)^-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
         2                           
        x  - 9   |x|         1       
f(x) = ------- + --- + --------------
       |x - 3|    x    /   x - 2    \
                       |------------|
                       | 2          |
                       \x  - 4*x + 4/
$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}$$
f = (x^2 - 9)/|x - 3| + |x|/x + 1/((x - 2)/(x^2 - 4*x + 4))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 9)/|x - 3| + |x|/x + 1/((x - 2)/(x^2 - 4*x + 4)).
$$\left(\frac{-9 + 0^{2}}{\left|{-3}\right|} + \frac{\left|{0}\right|}{0}\right) + \frac{1}{\left(-1\right) 2 \frac{1}{\left(0^{2} - 0\right) + 4}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 2} \left(- \frac{\left(4 - 2 x\right) \left(x - 2\right)}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 4\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 4\right)}{x - 2} - \frac{\left(x^{2} - 9\right) \operatorname{sign}{\left(x - 3 \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x} - \frac{\left|{x}\right|}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -82$$
$$x_{2} = -66$$
$$x_{3} = -70$$
$$x_{4} = -5.75$$
$$x_{5} = -18$$
$$x_{6} = -7.875$$
$$x_{7} = -68$$
$$x_{8} = -75.875$$
$$x_{9} = -78$$
$$x_{10} = -52$$
$$x_{11} = -30$$
$$x_{12} = -63.75$$
$$x_{13} = -25.875$$
$$x_{14} = -48$$
$$x_{15} = -46$$
$$x_{16} = -1.03161669940448 \cdot 10^{26}$$
$$x_{17} = -16$$
$$x_{18} = -84$$
$$x_{19} = -20$$
$$x_{20} = -41.75$$
$$x_{21} = -93.75$$
$$x_{22} = -24$$
$$x_{23} = -92$$
$$x_{24} = -1.43$$
$$x_{25} = -54$$
$$x_{26} = -96$$
$$x_{27} = -79.75$$
$$x_{28} = -60$$
$$x_{29} = -85.75$$
$$x_{30} = -31.75$$
$$x_{31} = -90$$
$$x_{32} = -7.73712524553363 \cdot 10^{25}$$
$$x_{33} = -1.54742504910673 \cdot 10^{26}$$
$$x_{34} = -36$$
$$x_{35} = -34$$
$$x_{36} = -58$$
$$x_{37} = -74$$
$$x_{38} = -22$$
$$x_{39} = -28$$
$$x_{40} = -38$$
$$x_{41} = -88$$
$$x_{42} = -62$$
$$x_{43} = -98$$
$$x_{44} = -55.75$$
$$x_{45} = -100$$
$$x_{46} = -10$$
$$x_{47} = -2$$
$$x_{48} = -3.09485009821345 \cdot 10^{26}$$
$$x_{49} = -50$$
$$x_{50} = -12$$
$$x_{51} = -72$$
$$x_{52} = -44$$
Signos de extremos en los puntos:
(-82, -5.99999999999999)

(-66, -6)

(-70, -6)

(-5.75, -6)

(-18, -6)

(-7.875, -6)

(-68, -6)

(-75.875, -5.99999999999999)

(-78, -6)

(-52, -6)

(-30, -6)

(-63.75, -6)

(-25.875, -6)

(-48, -6)

(-46, -6)

(-1.0316166994044835e+26, 0)

(-16, -6)

(-84, -5.99999999999999)

(-20, -6)

(-41.75, -6.00000000000001)

(-93.75, -6)

(-24, -6)

(-92, -6)

(-1.43, -6)

(-54, -6)

(-96, -5.99999999999997)

(-79.75, -6)

(-60, -5.99999999999999)

(-85.75, -6)

(-31.75, -6)

(-90, -6)

(-7.737125245533627e+25, 0)

(-1.5474250491067253e+26, 0)

(-36, -6)

(-34, -6)

(-58, -6)

(-74, -6)

(-22, -6)

(-28, -6)

(-38, -6)

(-88, -6)

(-62, -6)

(-98, -6)

(-55.75, -6)

(-100, -6.00000000000001)

(-10, -6)

(-2, -6)

(-3.094850098213451e+26, 0)

(-50, -6)

(-12, -6)

(-72, -6)

(-44, -6)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{52} = -82$$
$$x_{52} = -30$$
$$x_{52} = -84$$
$$x_{52} = -93.75$$
$$x_{52} = -96$$
$$x_{52} = -60$$
$$x_{52} = -34$$
$$x_{52} = -28$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -96\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[-28, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}\right) = -6$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -6$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 9)/|x - 3| + |x|/x + 1/((x - 2)/(x^2 - 4*x + 4)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}}}{x}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 2 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}} = \frac{x^{2} - 9}{\left|{x + 3}\right|} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{- x - 2} - \frac{\left|{x}\right|}{x}$$
- No
$$\left(\frac{x^{2} - 9}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{\left|{x}\right|}{x}\right) + \frac{1}{\left(x - 2\right) \frac{1}{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}} = - \frac{x^{2} - 9}{\left|{x + 3}\right|} - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{- x - 2} + \frac{\left|{x}\right|}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar