Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ ln(x)/((x^2)-5*x-6)

Gráfico de la función y = ln(x)/((x^2)-5*x-6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          log(x)   
f(x) = ------------
        2          
       x  - 5*x - 6
f(x)=log⁡(x)(x2−5x)−6f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 5 x\right) - 6} 
f = log(x)/(x^2 - 5*x - 6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=6x_{2} = 6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)(x2−5x)−6=0\frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 5 x\right) - 6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/(x^2 - 5*x - 6).
log⁡(0)−6+(02−0)\frac{\log{\left(0 \right)}}{-6 + \left(0^{2} - 0\right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(5−2x)log⁡(x)((x2−5x)−6)2+1x((x2−5x)−6)=0\frac{\left(5 - 2 x\right) \log{\left(x \right)}}{\left(\left(x^{2} - 5 x\right) - 6\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) - 6\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=46914.7970471163x_{1} = 46914.7970471163
x2=41528.4536606257x_{2} = 41528.4536606257
x3=36114.363495838x_{3} = 36114.363495838
x4=31758.3724482406x_{4} = 31758.3724482406
x5=25169.6737072896x_{5} = 25169.6737072896
x6=27374.5371385525x_{6} = 27374.5371385525
x7=49062.7168670969x_{7} = 49062.7168670969
x8=40448.044992218x_{8} = 40448.044992218
x9=39366.4856623714x_{9} = 39366.4856623714
x10=28473.5048172427x_{10} = 28473.5048172427
x11=43686.0069727836x_{11} = 43686.0069727836
x12=30665.2927093725x_{12} = 30665.2927093725
x13=26273.3190909199x_{13} = 26273.3190909199
x14=44763.2372050393x_{14} = 44763.2372050393
x15=54418.1231327819x_{15} = 54418.1231327819
x16=32849.7259558478x_{16} = 32849.7259558478
x17=38283.7238972357x_{17} = 38283.7238972357
x18=50135.3891338297x_{18} = 50135.3891338297
x19=29570.3775479823x_{19} = 29570.3775479823
x20=52278.2971150253x_{20} = 52278.2971150253
x21=53348.5835651187x_{21} = 53348.5835651187
x22=42607.7595322604x_{22} = 42607.7595322604
x23=37199.7035392901x_{23} = 37199.7035392901
x24=33939.4513275733x_{24} = 33939.4513275733
x25=47989.1959966122x_{25} = 47989.1959966122
x26=35027.6370947214x_{26} = 35027.6370947214
x27=51207.2405141327x_{27} = 51207.2405141327
x28=45839.488619675x_{28} = 45839.488619675
Signos de extremos en los puntos:
(46914.79704711626, 4.88743470540591e-9)

(41528.453660625666, 6.16684319602906e-9)

(36114.363495838, 8.04747653176731e-9)

(31758.37244824064, 1.02792022527062e-8)

(25169.673707289552, 1.59987514764412e-8)

(27374.53713855249, 1.36371879288876e-8)

(49062.71686709694, 4.48744561687278e-9)

(40448.04499221804, 6.4845950634692e-9)

(39366.48566237138, 6.82833858658016e-9)

(28473.50481724266, 1.26532855673946e-8)

(43686.00697278359, 5.59926111088894e-9)

(30665.292709372465, 1.09878872122342e-8)

(26273.319090919882, 1.47449422284298e-8)

(44763.23720503928, 5.34515419478437e-9)

(54418.123132781875, 3.68261785224645e-9)

(32849.72595584781, 9.63880879483549e-9)

(38283.72389723567, 7.20104068050466e-9)

(50135.38913382968, 4.3060733525591e-9)

(29570.377547982323, 1.17751421703317e-8)

(52278.29711502533, 3.97559272024609e-9)

(53348.58356511873, 3.8247891763152e-9)

(42607.75953226039, 5.87249004808968e-9)

(37199.703539290116, 7.60610952597166e-9)

(33939.45132757329, 9.05807287242123e-9)

(47989.19599661218, 4.68086316625854e-9)

(35027.637094721416, 8.52969677489749e-9)

(51207.24051413273, 4.1357530830456e-9)

(45839.48861967495, 5.10840096569272e-9)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2((2x−5)2−x2+5x+6+1)log⁡(x)−x2+5x+6−2(2x−5)x(−x2+5x+6)+1x2−x2+5x+6=0\frac{- \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{- x^{2} + 5 x + 6} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{- x^{2} + 5 x + 6} - \frac{2 \left(2 x - 5\right)}{x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)} + \frac{1}{x^{2}}}{- x^{2} + 5 x + 6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5870.39362848718x_{1} = 5870.39362848718
x2=6914.59122719056x_{2} = 6914.59122719056
x3=3480.72210969038x_{3} = 3480.72210969038
x4=12062.8424351589x_{4} = 12062.8424351589
x5=4817.28588136469x_{5} = 4817.28588136469
x6=6654.21759643837x_{6} = 6654.21759643837
x7=4018.92336729077x_{7} = 4018.92336729077
x8=5345.17323451462x_{8} = 5345.17323451462
x9=4286.06864557992x_{9} = 4286.06864557992
x10=11807.3453977421x_{10} = 11807.3453977421
x11=6132.15614696107x_{11} = 6132.15614696107
x12=5081.59877265897x_{12} = 5081.59877265897
x13=8211.01752946865x_{13} = 8211.01752946865
x14=4552.14523661271x_{14} = 4552.14523661271
x15=2935.58733693469x_{15} = 2935.58733693469
x16=8985.26322483577x_{16} = 8985.26322483577
x17=9242.83871308836x_{17} = 9242.83871308836
x18=12573.395138164x_{18} = 12573.395138164
x19=5608.08386789042x_{19} = 5608.08386789042
x20=11295.8837060083x_{20} = 11295.8837060083
x21=10783.7593619671x_{21} = 10783.7593619671
x22=3209.18789294047x_{22} = 3209.18789294047
x23=8469.3661969346x_{23} = 8469.3661969346
x24=6393.41750257713x_{24} = 6393.41750257713
x25=8727.44336426012x_{25} = 8727.44336426012
x26=7174.56894277705x_{26} = 7174.56894277705
x27=7952.38173114055x_{27} = 7952.38173114055
x28=9757.30290033662x_{28} = 9757.30290033662
x29=7693.44152226982x_{29} = 7693.44152226982
x30=10014.212426261x_{30} = 10014.212426261
x31=9500.18165567543x_{31} = 9500.18165567543
x32=3750.54418534066x_{32} = 3750.54418534066
x33=2659.44316899951x_{33} = 2659.44316899951
x34=11551.6943502068x_{34} = 11551.6943502068
x35=2.53236293789182x_{35} = 2.53236293789182
x36=10270.9194390745x_{36} = 10270.9194390745
x37=12318.1907055923x_{37} = 12318.1907055923
x38=11039.9075021552x_{38} = 11039.9075021552
x39=7434.17772159765x_{39} = 7434.17772159765
x40=12828.4603742141x_{40} = 12828.4603742141
x41=10527.4324529617x_{41} = 10527.4324529617
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=6x_{2} = 6

lim⁡x→−1−(−2((2x−5)2−x2+5x+6+1)log⁡(x)−x2+5x+6−2(2x−5)x(−x2+5x+6)+1x2−x2+5x+6)=∞i\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{- \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{- x^{2} + 5 x + 6} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{- x^{2} + 5 x + 6} - \frac{2 \left(2 x - 5\right)}{x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)} + \frac{1}{x^{2}}}{- x^{2} + 5 x + 6}\right) = \infty i
lim⁡x→−1+(−2((2x−5)2−x2+5x+6+1)log⁡(x)−x2+5x+6−2(2x−5)x(−x2+5x+6)+1x2−x2+5x+6)=−∞i\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{- x^{2} + 5 x + 6} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{- x^{2} + 5 x + 6} - \frac{2 \left(2 x - 5\right)}{x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)} + \frac{1}{x^{2}}}{- x^{2} + 5 x + 6}\right) = - \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→6−(−2((2x−5)2−x2+5x+6+1)log⁡(x)−x2+5x+6−2(2x−5)x(−x2+5x+6)+1x2−x2+5x+6)=−∞\lim_{x \to 6^-}\left(\frac{- \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{- x^{2} + 5 x + 6} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{- x^{2} + 5 x + 6} - \frac{2 \left(2 x - 5\right)}{x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)} + \frac{1}{x^{2}}}{- x^{2} + 5 x + 6}\right) = -\infty
lim⁡x→6+(−2((2x−5)2−x2+5x+6+1)log⁡(x)−x2+5x+6−2(2x−5)x(−x2+5x+6)+1x2−x2+5x+6)=∞\lim_{x \to 6^+}\left(\frac{- \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{- x^{2} + 5 x + 6} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{- x^{2} + 5 x + 6} - \frac{2 \left(2 x - 5\right)}{x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)} + \frac{1}{x^{2}}}{- x^{2} + 5 x + 6}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=6x_{2} = 6
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,2.53236293789182]\left(-\infty, 2.53236293789182\right]
Convexa en los intervalos
[2.53236293789182,∞)\left[2.53236293789182, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=6x_{2} = 6
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)(x2−5x)−6)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 5 x\right) - 6}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x)(x2−5x)−6)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 5 x\right) - 6}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/(x^2 - 5*x - 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x((x2−5x)−6))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) - 6\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)x((x2−5x)−6))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) - 6\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)(x2−5x)−6=log⁡(−x)x2+5x−6\frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 5 x\right) - 6} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2} + 5 x - 6}
- No
log⁡(x)(x2−5x)−6=−log⁡(−x)x2+5x−6\frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 5 x\right) - 6} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2} + 5 x - 6}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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