Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x^3-27)/(x-3)
- x³-4x²+2x
- y=3x⁴-4x³
-
y=x^3-12x^2+36x
-
Expresiones idénticas
- x³-4x²+2x
- x³ menos 4x² más 2x
-
Expresiones semejantes
- x³+4x²+2x
- x³-4x²-2x
Gráfico de la función y = x³-4x²+2x
Solución
Ha introducido
[src]
3 2 f(x) = x - 4*x + 2*x
$$f{\left(x \right)} = 2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)$$
f = 2*x + x^3 - 4*x^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.585786437626905$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3.41421356237309$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.585786437626905$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3.41421356237309$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 8 x + 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{10}}{3} + \frac{4}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{10}}{3} + \frac{4}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{10}}{3} + \frac{4}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3}, \frac{\sqrt{10}}{3} + \frac{4}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 8 x + 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{10}}{3} + \frac{4}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
3 2
____ / ____\ / ____\ ____
4 \/ 10 8 |4 \/ 10 | |4 \/ 10 | 2*\/ 10
(- - ------, - + |- - ------| - 4*|- - ------| - --------)
3 3 3 \3 3 / \3 3 / 3 3 2
____ / ____\ / ____\ ____
4 \/ 10 8 |4 \/ 10 | |4 \/ 10 | 2*\/ 10
(- + ------, - + |- + ------| - 4*|- + ------| + --------)
3 3 3 \3 3 / \3 3 / 3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{10}}{3} + \frac{4}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{10}}{3} + \frac{4}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3}, \frac{\sqrt{10}}{3} + \frac{4}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x - 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{4}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{4}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x - 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{4}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{4}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 4*x^2 + 2*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) = - x^{3} - 4 x^{2} - 2 x$$
- No
$$2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) = x^{3} + 4 x^{2} + 2 x$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) = - x^{3} - 4 x^{2} - 2 x$$
- No
$$2 x + \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) = x^{3} + 4 x^{2} + 2 x$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar