Sr Examen

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y=((x^2-4x+4)/(x-2))-((4x-x^2)/x)
Trazado el gráfico de la función/ y=((x^2-4x+4)/(x-2))-((4x-x^2)/x)

Gráfico de la función y = y=((x^2-4x+4)/(x-2))-((4x-x^2)/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2                    2
       x  - 4*x + 4   4*x - x 
f(x) = ------------ - --------
          x - 2          x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 2} - \frac{- x^{2} + 4 x}{x}$$ 
f = (x^2 - 4*x + 4)/(x - 2) - (-x^2 + 4*x)/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 2} - \frac{- x^{2} + 4 x}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 4*x + 4)/(x - 2) - (4*x - x^2)/x.
$$\frac{\left(0^{2} - 0\right) + 4}{-2} - \frac{0 \cdot 4 - 0^{2}}{0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x - 4}{x - 2} - \frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{2 x - 4}{x} - \frac{x^{2} - 4 x}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 2} - \frac{- x^{2} + 4 x}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 2} - \frac{- x^{2} + 4 x}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 4*x + 4)/(x - 2) - (4*x - x^2)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 2} - \frac{- x^{2} + 4 x}{x}}{x}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 2} - \frac{- x^{2} + 4 x}{x}}{x}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 2 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 2} - \frac{- x^{2} + 4 x}{x} = \frac{x^{2} + 4 x + 4}{- x - 2} + \frac{- x^{2} - 4 x}{x}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 4}{x - 2} - \frac{- x^{2} + 4 x}{x} = - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{- x - 2} - \frac{- x^{2} - 4 x}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=((x^2-4x+4)/(x-2))-((4x-x^2)/x)
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