Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- (x+ uno)/(x(x- tres))
- (x más 1) dividir por (x(x menos 3))
- (x más uno) dividir por (x(x menos tres))
- x+1/xx-3
- (x+1) dividir por (x(x-3))
-
Expresiones semejantes
- (x+1)/(x(x+3))
- (x-1)/(x(x-3))
Gráfico de la función y = (x+1)/(x(x-3))
Solución
Ha introducido
[src]
x + 1
f(x) = ---------
x*(x - 3)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x \left(x - 3\right)}$$
f = (x + 1)/((x*(x - 3)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 1}{x \left(x - 3\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 1}{x \left(x - 3\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{x \left(x - 3\right)} + \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-3, 1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{x \left(x - 3\right)} + \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-3, -1/9)
(1, -1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-3, 1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- 4 x + \left(x + 1\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x}\right) + 6}{x^{2} \left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \sqrt[3]{2} - 2^{\frac{2}{3}} - 1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 4 x + \left(x + 1\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x}\right) + 6}{x^{2} \left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 4 x + \left(x + 1\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x}\right) + 6}{x^{2} \left(x - 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{- 4 x + \left(x + 1\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x}\right) + 6}{x^{2} \left(x - 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 4 x + \left(x + 1\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x}\right) + 6}{x^{2} \left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt[3]{2} - 2^{\frac{2}{3}} - 1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt[3]{2} - 2^{\frac{2}{3}} - 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- 4 x + \left(x + 1\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x}\right) + 6}{x^{2} \left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \sqrt[3]{2} - 2^{\frac{2}{3}} - 1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 4 x + \left(x + 1\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x}\right) + 6}{x^{2} \left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 4 x + \left(x + 1\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x}\right) + 6}{x^{2} \left(x - 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{- 4 x + \left(x + 1\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x}\right) + 6}{x^{2} \left(x - 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 4 x + \left(x + 1\right) \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x}\right) + 6}{x^{2} \left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt[3]{2} - 2^{\frac{2}{3}} - 1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt[3]{2} - 2^{\frac{2}{3}} - 1\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x - 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 1)/((x*(x - 3))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x \left(x - 3\right)} \left(x + 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x \left(x - 3\right)} \left(x + 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x \left(x - 3\right)} \left(x + 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x \left(x - 3\right)} \left(x + 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 1}{x \left(x - 3\right)} = - \frac{1 - x}{x \left(- x - 3\right)}$$
- No
$$\frac{x + 1}{x \left(x - 3\right)} = \frac{1 - x}{x \left(- x - 3\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 1}{x \left(x - 3\right)} = - \frac{1 - x}{x \left(- x - 3\right)}$$
- No
$$\frac{x + 1}{x \left(x - 3\right)} = \frac{1 - x}{x \left(- x - 3\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar