Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
x^3-3*x^2+4
-
x^2+1/x
-
(x-1)/(x+2)
-
Expresiones idénticas
- y=(x- uno)*(x+ dos)/(x- tres)*(x+ cuatro)
- y es igual a (x menos 1) multiplicar por (x más 2) dividir por (x menos 3) multiplicar por (x más 4)
- y es igual a (x menos uno) multiplicar por (x más dos) dividir por (x menos tres) multiplicar por (x más cuatro)
- y=(x-1)(x+2)/(x-3)(x+4)
- y=x-1x+2/x-3x+4
- y=(x-1)*(x+2) dividir por (x-3)*(x+4)
-
Expresiones semejantes
- (x-1)(x+2)/(x-3)*(x+4)
- (x-1)(x+2)/(x-3)^(x+4)
- y=(x-1)*(x-2)/(x-3)*(x+4)
- y=(x+1)*(x+2)/(x-3)*(x+4)
- y=(x-1)*(x+2)/(x+3)*(x+4)
- y=(x-1)*(x+2)/(x-3)*(x-4)
Gráfico de la función y = y=(x-1)*(x+2)/(x-3)*(x+4)
Solución
Ha introducido
[src]
(x - 1)*(x + 2)
f(x) = ---------------*(x + 4)
x - 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right)$$
f = (((x - 1)*(x + 2))/(x - 3))*(x + 4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -4$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -4$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} + \left(x + 4\right) \left(\frac{2 x + 1}{x - 3} - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{49}{9 \sqrt[3]{\frac{259}{54} + \frac{7 \sqrt{915} i}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{259}{54} + \frac{7 \sqrt{915} i}{18}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{14 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{915}}{37} \right)}}{3} \right)}}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{2}{3} + \frac{14 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{915}}{37} \right)}}{3} \right)}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2}{3} + \frac{14 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{915}}{37} \right)}}{3} \right)}}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} + \left(x + 4\right) \left(\frac{2 x + 1}{x - 3} - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{49}{9 \sqrt[3]{\frac{259}{54} + \frac{7 \sqrt{915} i}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{259}{54} + \frac{7 \sqrt{915} i}{18}}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___________________ \ / ___________________ \ / ___________________ \
| / _____ | | / _____ | | / _____ |
| 1 / 259 7*I*\/ 915 49 | |8 / 259 7*I*\/ 915 49 | |14 / 259 7*I*\/ 915 49 |
|- - + 3 / --- + ----------- + --------------------------|*|- + 3 / --- + ----------- + --------------------------|*|-- + 3 / --- + ----------- + --------------------------|
| 3 \/ 54 18 ___________________| |3 \/ 54 18 ___________________| |3 \/ 54 18 ___________________|
| / _____ | | / _____ | | / _____ |
___________________ | / 259 7*I*\/ 915 | | / 259 7*I*\/ 915 | | / 259 7*I*\/ 915 |
/ _____ | 9*3 / --- + ----------- | | 9*3 / --- + ----------- | | 9*3 / --- + ----------- |
2 / 259 7*I*\/ 915 49 \ \/ 54 18 / \ \/ 54 18 / \ \/ 54 18 /
(- + 3 / --- + ----------- + --------------------------, --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
3 \/ 54 18 ___________________ ___________________
/ _____ / _____
/ 259 7*I*\/ 915 7 / 259 7*I*\/ 915 49
9*3 / --- + ----------- - - + 3 / --- + ----------- + --------------------------
\/ 54 18 3 \/ 54 18 ___________________
/ _____
/ 259 7*I*\/ 915
9*3 / --- + -----------
\/ 54 18 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{14 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{915}}{37} \right)}}{3} \right)}}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{2}{3} + \frac{14 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{915}}{37} \right)}}{3} \right)}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2}{3} + \frac{14 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{915}}{37} \right)}}{3} \right)}}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(2 x + \left(x + 4\right) \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 1 - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3}\right)}{x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 - \sqrt[3]{70}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(2 x + \left(x + 4\right) \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 1 - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(2 x + \left(x + 4\right) \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 1 - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - \sqrt[3]{70}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[3 - \sqrt[3]{70}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(2 x + \left(x + 4\right) \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 1 - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3}\right)}{x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 - \sqrt[3]{70}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(2 x + \left(x + 4\right) \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 1 - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(2 x + \left(x + 4\right) \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 1 - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - \sqrt[3]{70}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[3 - \sqrt[3]{70}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x - 1)*(x + 2))/(x - 3))*(x + 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)}{x \left(x - 3\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)}{x \left(x - 3\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)}{x \left(x - 3\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)}{x \left(x - 3\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right) = \frac{\left(2 - x\right) \left(4 - x\right) \left(- x - 1\right)}{- x - 3}$$
- No
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right) = - \frac{\left(2 - x\right) \left(4 - x\right) \left(- x - 1\right)}{- x - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right) = \frac{\left(2 - x\right) \left(4 - x\right) \left(- x - 1\right)}{- x - 3}$$
- No
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right) = - \frac{\left(2 - x\right) \left(4 - x\right) \left(- x - 1\right)}{- x - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico