Sr Examen

Otras calculadoras

Gráfico de la función y = (x-1)(x+2)/(x-3)*(x+4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       (x - 1)*(x + 2)        
f(x) = ---------------*(x + 4)
            x - 3             
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right)$$
f = (((x - 1)*(x + 2))/(x - 3))*(x + 4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((x - 1)*(x + 2))/(x - 3))*(x + 4).
$$4 \frac{\left(-1\right) 2}{-3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{8}{3}$$
Punto:
(0, 8/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} + \left(x + 4\right) \left(\frac{2 x + 1}{x - 3} - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{49}{9 \sqrt[3]{\frac{259}{54} + \frac{7 \sqrt{915} i}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{259}{54} + \frac{7 \sqrt{915} i}{18}}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                                            /           ___________________                             \ /         ___________________                             \ /          ___________________                             \ 
                                                            |          /             _____                              | |        /             _____                              | |         /             _____                              | 
                                                            |  1      /  259   7*I*\/ 915                 49            | |8      /  259   7*I*\/ 915                 49            | |14      /  259   7*I*\/ 915                 49            | 
                                                            |- - + 3 /   --- + -----------  + --------------------------|*|- + 3 /   --- + -----------  + --------------------------|*|-- + 3 /   --- + -----------  + --------------------------| 
                                                            |  3   \/     54        18               ___________________| |3   \/     54        18               ___________________| |3    \/     54        18               ___________________| 
                                                            |                                       /             _____ | |                                     /             _____ | |                                      /             _____ | 
          ___________________                               |                                      /  259   7*I*\/ 915  | |                                    /  259   7*I*\/ 915  | |                                     /  259   7*I*\/ 915  | 
         /             _____                                |                                 9*3 /   --- + ----------- | |                               9*3 /   --- + ----------- | |                                9*3 /   --- + ----------- | 
 2      /  259   7*I*\/ 915                 49              \                                   \/     54        18     / \                                 \/     54        18     / \                                  \/     54        18     / 
(- + 3 /   --- + -----------  + --------------------------, --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
 3   \/     54        18               ___________________                                                                          ___________________                                                                                            
                                      /             _____                                                                          /             _____                                                                                             
                                     /  259   7*I*\/ 915                                                                   7      /  259   7*I*\/ 915                 49                                                                           
                                9*3 /   --- + -----------                                                                - - + 3 /   --- + -----------  + --------------------------                                                               
                                  \/     54        18                                                                      3   \/     54        18               ___________________                                                               
                                                                                                                                                                /             _____                                                                
                                                                                                                                                               /  259   7*I*\/ 915                                                                 
                                                                                                                                                          9*3 /   --- + -----------                                                                
                                                                                                                                                            \/     54        18                                                                    


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{14 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{915}}{37} \right)}}{3} \right)}}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{2}{3} + \frac{14 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{915}}{37} \right)}}{3} \right)}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2}{3} + \frac{14 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{915}}{37} \right)}}{3} \right)}}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(2 x + \left(x + 4\right) \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 1 - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3}\right)}{x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 - \sqrt[3]{70}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3$$

$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(2 x + \left(x + 4\right) \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 1 - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(2 x + \left(x + 4\right) \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 1 - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 3$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - \sqrt[3]{70}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[3 - \sqrt[3]{70}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x - 1)*(x + 2))/(x - 3))*(x + 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)}{x \left(x - 3\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)}{x \left(x - 3\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right) = \frac{\left(2 - x\right) \left(4 - x\right) \left(- x - 1\right)}{- x - 3}$$
- No
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right) = - \frac{\left(2 - x\right) \left(4 - x\right) \left(- x - 1\right)}{- x - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar