Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x-1)(x+2)/(x-3)*(x+4)

Gráfico de la función y = (x-1)(x+2)/(x-3)*(x+4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       (x - 1)*(x + 2)        
f(x) = ---------------*(x + 4)
            x - 3
f(x)=(x−1)(x+2)x−3(x+4)f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right) 
f = (((x - 1)*(x + 2))/(x - 3))*(x + 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−1)(x+2)x−3(x+4)=0\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−4x_{1} = -4
x2=−2x_{2} = -2
x3=1x_{3} = 1
Solución numérica
x1=−4x_{1} = -4
x2=1x_{2} = 1
x3=−2x_{3} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((x - 1)*(x + 2))/(x - 3))*(x + 4).
4(−1)2−34 \frac{\left(-1\right) 2}{-3}
Resultado:
f(0)=83f{\left(0 \right)} = \frac{8}{3}
Punto:
(0, 8/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−1)(x+2)x−3+(x+4)(2x+1x−3−(x−1)(x+2)(x−3)2)=0\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} + \left(x + 4\right) \left(\frac{2 x + 1}{x - 3} - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=23+49925954+7915i183+25954+7915i183x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{49}{9 \sqrt[3]{\frac{259}{54} + \frac{7 \sqrt{915} i}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{259}{54} + \frac{7 \sqrt{915} i}{18}}
Signos de extremos en los puntos:
                                                            /           ___________________                             \ /         ___________________                             \ /          ___________________                             \ 
                                                            |          /             _____                              | |        /             _____                              | |         /             _____                              | 
                                                            |  1      /  259   7*I*\/ 915                 49            | |8      /  259   7*I*\/ 915                 49            | |14      /  259   7*I*\/ 915                 49            | 
                                                            |- - + 3 /   --- + -----------  + --------------------------|*|- + 3 /   --- + -----------  + --------------------------|*|-- + 3 /   --- + -----------  + --------------------------| 
                                                            |  3   \/     54        18               ___________________| |3   \/     54        18               ___________________| |3    \/     54        18               ___________________| 
                                                            |                                       /             _____ | |                                     /             _____ | |                                      /             _____ | 
          ___________________                               |                                      /  259   7*I*\/ 915  | |                                    /  259   7*I*\/ 915  | |                                     /  259   7*I*\/ 915  | 
         /             _____                                |                                 9*3 /   --- + ----------- | |                               9*3 /   --- + ----------- | |                                9*3 /   --- + ----------- | 
 2      /  259   7*I*\/ 915                 49              \                                   \/     54        18     / \                                 \/     54        18     / \                                  \/     54        18     / 
(- + 3 /   --- + -----------  + --------------------------, --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
 3   \/     54        18               ___________________                                                                          ___________________                                                                                            
                                      /             _____                                                                          /             _____                                                                                             
                                     /  259   7*I*\/ 915                                                                   7      /  259   7*I*\/ 915                 49                                                                           
                                9*3 /   --- + -----------                                                                - - + 3 /   --- + -----------  + --------------------------                                                               
                                  \/     54        18                                                                      3   \/     54        18               ___________________                                                               
                                                                                                                                                                /             _____                                                                
                                                                                                                                                               /  259   7*I*\/ 915                                                                 
                                                                                                                                                          9*3 /   --- + -----------                                                                
                                                                                                                                                            \/     54        18


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=23+14cos⁡(atan⁡(391537)3)3x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{14 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{915}}{37} \right)}}{3} \right)}}{3}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[23+14cos⁡(atan⁡(391537)3)3,∞)\left[\frac{2}{3} + \frac{14 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{915}}{37} \right)}}{3} \right)}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,23+14cos⁡(atan⁡(391537)3)3]\left(-\infty, \frac{2}{3} + \frac{14 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{915}}{37} \right)}}{3} \right)}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2x+(x+4)(1−2x+1x−3+(x−1)(x+2)(x−3)2)+1−(x−1)(x+2)x−3)x−3=0\frac{2 \left(2 x + \left(x + 4\right) \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 1 - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3}\right)}{x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3−703x_{1} = 3 - \sqrt[3]{70}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=3x_{1} = 3

lim⁡x→3−(2(2x+(x+4)(1−2x+1x−3+(x−1)(x+2)(x−3)2)+1−(x−1)(x+2)x−3)x−3)=−∞\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(2 x + \left(x + 4\right) \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 1 - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = -\infty
lim⁡x→3+(2(2x+(x+4)(1−2x+1x−3+(x−1)(x+2)(x−3)2)+1−(x−1)(x+2)x−3)x−3)=∞\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(2 x + \left(x + 4\right) \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 1 - \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=3x_{1} = 3
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,3−703]\left(-\infty, 3 - \sqrt[3]{70}\right]
Convexa en los intervalos
[3−703,∞)\left[3 - \sqrt[3]{70}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)(x+2)x−3(x+4))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−1)(x+2)x−3(x+4))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x - 1)*(x + 2))/(x - 3))*(x + 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)(x+2)(x+4)x(x−3))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)}{x \left(x - 3\right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−1)(x+2)(x+4)x(x−3))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)}{x \left(x - 3\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−1)(x+2)x−3(x+4)=(2−x)(4−x)(−x−1)−x−3\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right) = \frac{\left(2 - x\right) \left(4 - x\right) \left(- x - 1\right)}{- x - 3}
- No
(x−1)(x+2)x−3(x+4)=−(2−x)(4−x)(−x−1)−x−3\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x - 3} \left(x + 4\right) = - \frac{\left(2 - x\right) \left(4 - x\right) \left(- x - 1\right)}{- x - 3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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