Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(sin(log(x)))

Gráfico de la función y = log(sin(log(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = log(sin(log(x)))
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}$$ 
f = log(sin(log(x)))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = e^{\frac{\pi}{2}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4.81047866737742$$
$$x_{2} = 4.81048417817856$$
$$x_{3} = 4.81048268576442$$
$$x_{4} = 4.81047443651236$$
$$x_{5} = 4.81047899511814$$
$$x_{6} = 4.81047786349785$$
$$x_{7} = 4.81047832385829$$
$$x_{8} = 4.81047704417602$$
$$x_{9} = 4.81048152953523$$
$$x_{10} = 4.81047936384539$$
$$x_{11} = 4.810479825922$$
$$x_{12} = 4.81048439006849$$
$$x_{13} = 4.81048046793388$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(sin(log(x))).
$$\log{\left(\sin{\left(\log{\left(0 \right)} \right)} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{1 + \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(sin(log(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)} = \log{\left(\sin{\left(\log{\left(- x \right)} \right)} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)} = - \log{\left(\sin{\left(\log{\left(- x \right)} \right)} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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