Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x/2-pi/4)

Gráfico de la función y = sin(x/2-pi/4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x   pi\
f(x) = sin|- - --|
          \2   4 /
f(x)=sin⁡(x2−π4)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)} 
f = sin(x/2 - pi/4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x2−π4)=0\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=5π2x_{2} = \frac{5 \pi}{2}
Solución numérica
x1=−29.845130209103x_{1} = -29.845130209103
x2=−67.5442420521806x_{2} = -67.5442420521806
x3=64.4026493985908x_{3} = 64.4026493985908
x4=−36.1283155162826x_{4} = -36.1283155162826
x5=−92.6769832808989x_{5} = -92.6769832808989
x6=−61.261056745001x_{6} = -61.261056745001
x7=−98.9601685880785x_{7} = -98.9601685880785
x8=32.9867228626928x_{8} = 32.9867228626928
x9=−4.71238898038469x_{9} = -4.71238898038469
x10=−10.9955742875643x_{10} = -10.9955742875643
x11=26.7035375555132x_{11} = 26.7035375555132
x12=−105.243353895258x_{12} = -105.243353895258
x13=95.8185759344887x_{13} = 95.8185759344887
x14=−17.2787595947439x_{14} = -17.2787595947439
x15=−86.3937979737193x_{15} = -86.3937979737193
x16=−48.6946861306418x_{16} = -48.6946861306418
x17=76.9690200129499x_{17} = 76.9690200129499
x18=45.553093477052x_{18} = 45.553093477052
x19=−2913.82718620453x_{19} = -2913.82718620453
x20=−80.1106126665397x_{20} = -80.1106126665397
x21=7.85398163397448x_{21} = 7.85398163397448
x22=102.101761241668x_{22} = 102.101761241668
x23=14.1371669411541x_{23} = 14.1371669411541
x24=−563.915881319368x_{24} = -563.915881319368
x25=70.6858347057703x_{25} = 70.6858347057703
x26=83.2522053201295x_{26} = 83.2522053201295
x27=51.8362787842316x_{27} = 51.8362787842316
x28=20.4203522483337x_{28} = 20.4203522483337
x29=1.5707963267949x_{29} = 1.5707963267949
x30=89.5353906273091x_{30} = 89.5353906273091
x31=58.1194640914112x_{31} = 58.1194640914112
x32=−218.340689424491x_{32} = -218.340689424491
x33=−54.9778714378214x_{33} = -54.9778714378214
x34=−42.4115008234622x_{34} = -42.4115008234622
x35=−256.039801267568x_{35} = -256.039801267568
x36=39.2699081698724x_{36} = 39.2699081698724
x37=−23.5619449019235x_{37} = -23.5619449019235
x38=−73.8274273593601x_{38} = -73.8274273593601
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x/2 - pi/4).
sin⁡(−π4+02)\sin{\left(- \frac{\pi}{4} + \frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=−22f{\left(0 \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
Punto:
(0, -sqrt(2)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x2−π4)2=0\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi       /pi   pi\ 
(----, -sin|-- + --|)
  2        \4    4 / 

 3*pi     /pi   pi\ 
(----, cos|-- - --|)
  2       \4    4 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Decrece en los intervalos
[−π2,3π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(2x−π4)4=0- \frac{\sin{\left(\frac{2 x - \pi}{4} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=5π2x_{2} = \frac{5 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π2]∪[5π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π2,5π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(x2−π4)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(x2−π4)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x/2 - pi/4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x2−π4)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x2−π4)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x2−π4)=−sin⁡(x2+π4)\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}
- No
sin⁡(x2−π4)=sin⁡(x2+π4)\sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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