Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (-1+1/x+log(x))/x

Gráfico de la función y = (-1+1/x+log(x))/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            1         
       -1 + - + log(x)
            x         
f(x) = ---------------
              x
f(x)=(−1+1x)+log⁡(x)xf{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \frac{1}{x}\right) + \log{\left(x \right)}}{x} 
f = (-1 + 1/x + log(x))/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−1+1x)+log⁡(x)x=0\frac{\left(-1 + \frac{1}{x}\right) + \log{\left(x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-1 + 1/x + log(x))/x.
log⁡(0)+(−1+10)0\frac{\log{\left(0 \right)} + \left(-1 + \frac{1}{0}\right)}{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x−1x2x−(−1+1x)+log⁡(x)x2=0\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{x} - \frac{\left(-1 + \frac{1}{x}\right) + \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=eW(−2e2)+2x_{1} = e^{W\left(- \frac{2}{e^{2}}\right) + 2}
Signos de extremos en los puntos:
       /    -2\  /                       /    -2\\        /    -2\ 
  2 + W\-2*e  /  |     /    -2\    -2 - W\-2*e  /|  -2 - W\-2*e  / 
(e            , \1 + W\-2*e  / + e              /*e              )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=eW(−2e2)+2x_{1} = e^{W\left(- \frac{2}{e^{2}}\right) + 2}
Decrece en los intervalos
(−∞,eW(−2e2)+2]\left(-\infty, e^{W\left(- \frac{2}{e^{2}}\right) + 2}\right]
Crece en los intervalos
[eW(−2e2)+2,∞)\left[e^{W\left(- \frac{2}{e^{2}}\right) + 2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log⁡(x)−5+6xx3=0\frac{2 \log{\left(x \right)} - 5 + \frac{6}{x}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=eW(−3e52)+52x_{1} = e^{W\left(- \frac{3}{e^{\frac{5}{2}}}\right) + \frac{5}{2}}
x2=eW−1(−3e52)+52x_{2} = e^{W_{-1}\left(- \frac{3}{e^{\frac{5}{2}}}\right) + \frac{5}{2}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2log⁡(x)−5+6xx3)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \log{\left(x \right)} - 5 + \frac{6}{x}}{x^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(2log⁡(x)−5+6xx3)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \log{\left(x \right)} - 5 + \frac{6}{x}}{x^{3}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,eW−1(−3e52)+52]∪[eW(−3e52)+52,∞)\left(-\infty, e^{W_{-1}\left(- \frac{3}{e^{\frac{5}{2}}}\right) + \frac{5}{2}}\right] \cup \left[e^{W\left(- \frac{3}{e^{\frac{5}{2}}}\right) + \frac{5}{2}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[eW−1(−3e52)+52,eW(−3e52)+52]\left[e^{W_{-1}\left(- \frac{3}{e^{\frac{5}{2}}}\right) + \frac{5}{2}}, e^{W\left(- \frac{3}{e^{\frac{5}{2}}}\right) + \frac{5}{2}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−1+1x)+log⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1 + \frac{1}{x}\right) + \log{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((−1+1x)+log⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1 + \frac{1}{x}\right) + \log{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 + 1/x + log(x))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−1+1x)+log⁡(x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1 + \frac{1}{x}\right) + \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−1+1x)+log⁡(x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1 + \frac{1}{x}\right) + \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−1+1x)+log⁡(x)x=−log⁡(−x)−1−1xx\frac{\left(-1 + \frac{1}{x}\right) + \log{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\log{\left(- x \right)} - 1 - \frac{1}{x}}{x}
- No
(−1+1x)+log⁡(x)x=log⁡(−x)−1−1xx\frac{\left(-1 + \frac{1}{x}\right) + \log{\left(x \right)}}{x} = \frac{\log{\left(- x \right)} - 1 - \frac{1}{x}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор