Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/2x^2-lnx

Gráfico de la función y = 1/2x^2-lnx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2         
       x          
f(x) = -- - log(x)
       2
f(x)=x22−log⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x \right)} 
f = x^2/2 - log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x22−log⁡(x)=0\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2/2 - log(x).
−log⁡(0)+022- \log{\left(0 \right)} + \frac{0^{2}}{2}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x−1x=0x - \frac{1}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 1/2 - pi*I)

(1, 1/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1+1x2=01 + \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x22−log⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x22−log⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/2 - log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x22−log⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x22−log⁡(x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x22−log⁡(x)=x22−log⁡(−x)\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{2} - \log{\left(- x \right)}
- No
x22−log⁡(x)=−x22+log⁡(−x)\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x \right)} = - \frac{x^{2}}{2} + \log{\left(- x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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