Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x+5)e^x

Gráfico de la función y = (x+5)e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                x
f(x) = (x + 5)*E
f(x)=ex(x+5)f{\left(x \right)} = e^{x} \left(x + 5\right) 
f = E^x*(x + 5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500000500000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex(x+5)=0e^{x} \left(x + 5\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5x_{1} = -5
Solución numérica
x1=−49.550618994199x_{1} = -49.550618994199
x2=−85.1835505142898x_{2} = -85.1835505142898
x3=−101.123586816177x_{3} = -101.123586816177
x4=−36.1756177264239x_{4} = -36.1756177264239
x5=−107.106670133692x_{5} = -107.106670133692
x6=−79.2141900449367x_{6} = -79.2141900449367
x7=−53.4711655449634x_{7} = -53.4711655449634
x8=−109.101527351786x_{8} = -109.101527351786
x9=−31.3147782825773x_{9} = -31.3147782825773
x10=−39.8971886855811x_{10} = -39.8971886855811
x11=−69.2814467335924x_{11} = -69.2814467335924
x12=−38.0182140925185x_{12} = -38.0182140925185
x13=−32.7168335060868x_{13} = -32.7168335060868
x14=−115.087371742331x_{14} = -115.087371742331
x15=−55.4381699084522x_{15} = -55.4381699084522
x16=−59.3821676071309x_{16} = -59.3821676071309
x17=−34.3917570802295x_{17} = -34.3917570802295
x18=−119.078868899778x_{18} = -119.078868899778
x19=−63.336389337426x_{19} = -63.336389337426
x20=−65.316486753355x_{20} = -65.316486753355
x21=−105.112049515773x_{21} = -105.112049515773
x22=−87.1745282419576x_{22} = -87.1745282419576
x23=−111.096605847552x_{23} = -111.096605847552
x24=−97.1362942896831x_{24} = -97.1362942896831
x25=−71.2659399232894x_{25} = -71.2659399232894
x26=−73.2515753571383x_{26} = -73.2515753571383
x27=−51.5083552648416x_{27} = -51.5083552648416
x28=−117.08303446753x_{28} = -117.08303446753
x29=−93.1503604017549x_{29} = -93.1503604017549
x30=−67.2982393476586x_{30} = -67.2982393476586
x31=−99.1297833837852x_{31} = -99.1297833837852
x32=−77.2257989645248x_{32} = -77.2257989645248
x33=−95.1431441899768x_{33} = -95.1431441899768
x34=−81.2033239479075x_{34} = -81.2033239479075
x35=−121.074865014488x_{35} = -121.074865014488
x36=−91.157973273941x_{36} = -91.157973273941
x37=−83.1931311289629x_{37} = -83.1931311289629
x38=−89.1660166222937x_{38} = -89.1660166222937
x39=−43.7215440170094x_{39} = -43.7215440170094
x40=−47.5991101904548x_{40} = -47.5991101904548
x41=−41.8006485741225x_{41} = -41.8006485741225
x42=−5x_{42} = -5
x43=−57.4086841814429x_{43} = -57.4086841814429
x44=−61.3581866464466x_{44} = -61.3581866464466
x45=−45.6553752443623x_{45} = -45.6553752443623
x46=−113.091891597578x_{46} = -113.091891597578
x47=−75.2382302560517x_{47} = -75.2382302560517
x48=−103.117682274216x_{48} = -103.117682274216
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 5)*E^x.
5e05 e^{0}
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex+(x+5)ex=0e^{x} + \left(x + 5\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−6x_{1} = -6
Signos de extremos en los puntos:
       -6 
(-6, -e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−6x_{1} = -6
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−6,∞)\left[-6, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−6]\left(-\infty, -6\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+7)ex=0\left(x + 7\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−7x_{1} = -7

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−7,∞)\left[-7, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−7]\left(-\infty, -7\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex(x+5))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \left(x + 5\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex(x+5))=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \left(x + 5\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 5)*E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+5)exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 5\right) e^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x+5)exx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 5\right) e^{x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex(x+5)=(5−x)e−xe^{x} \left(x + 5\right) = \left(5 - x\right) e^{- x}
- No
ex(x+5)=−(5−x)e−xe^{x} \left(x + 5\right) = - \left(5 - x\right) e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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