Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x-5)e^x

Gráfico de la función y = (x-5)e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                x
f(x) = (x - 5)*E
f(x)=ex(x−5)f{\left(x \right)} = e^{x} \left(x - 5\right) 
f = E^x*(x - 5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200000-100000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex(x−5)=0e^{x} \left(x - 5\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=5x_{1} = 5
Solución numérica
x1=−87.1362942896831x_{1} = -87.1362942896831
x2=−35.6553752443623x_{2} = -35.6553752443623
x3=−61.2659399232894x_{3} = -61.2659399232894
x4=−77.1745282419576x_{4} = -77.1745282419576
x5=−63.2515753571383x_{5} = -63.2515753571383
x6=−33.7215440170094x_{6} = -33.7215440170094
x7=−37.5991101904548x_{7} = -37.5991101904548
x8=−117.063734292694x_{8} = -117.063734292694
x9=−49.3821676071309x_{9} = -49.3821676071309
x10=−75.1835505142898x_{10} = -75.1835505142898
x11=−121.056969852248x_{11} = -121.056969852248
x12=−91.1235868161767x_{12} = -91.1235868161767
x13=−99.1015273517858x_{13} = -99.1015273517858
x14=−55.316486753355x_{14} = -55.316486753355
x15=−89.1297833837852x_{15} = -89.1297833837852
x16=−79.1660166222937x_{16} = -79.1660166222937
x17=−67.2257989645248x_{17} = -67.2257989645248
x18=−43.4711655449634x_{18} = -43.4711655449634
x19=−31.8006485741225x_{19} = -31.8006485741225
x20=−115.06730595755x_{20} = -115.06730595755
x21=−53.336389337426x_{21} = -53.336389337426
x22=−39.550618994199x_{22} = -39.550618994199
x23=−85.1431441899768x_{23} = -85.1431441899768
x24=−65.2382302560517x_{24} = -65.2382302560517
x25=−111.074865014488x_{25} = -111.074865014488
x26=−105.087371742331x_{26} = -105.087371742331
x27=−69.2141900449367x_{27} = -69.2141900449367
x28=−71.2033239479075x_{28} = -71.2033239479075
x29=−47.4086841814429x_{29} = -47.4086841814429
x30=−51.3581866464466x_{30} = -51.3581866464466
x31=−41.5083552648416x_{31} = -41.5083552648416
x32=−57.2982393476586x_{32} = -57.2982393476586
x33=−109.078868899778x_{33} = -109.078868899778
x34=−97.1066701336916x_{34} = -97.1066701336916
x35=−81.157973273941x_{35} = -81.157973273941
x36=−119.060291202492x_{36} = -119.060291202492
x37=5x_{37} = 5
x38=−103.091891597578x_{38} = -103.091891597578
x39=−45.4381699084522x_{39} = -45.4381699084522
x40=−93.1176822742156x_{40} = -93.1176822742156
x41=−107.08303446753x_{41} = -107.08303446753
x42=−59.2814467335924x_{42} = -59.2814467335924
x43=−101.096605847552x_{43} = -101.096605847552
x44=−95.1120495157731x_{44} = -95.1120495157731
x45=−83.1503604017549x_{45} = -83.1503604017549
x46=−113.071013554438x_{46} = -113.071013554438
x47=−73.1931311289629x_{47} = -73.1931311289629
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 5)*E^x.
−5e0- 5 e^{0}
Resultado:
f(0)=−5f{\left(0 \right)} = -5
Punto:
(0, -5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex+(x−5)ex=0e^{x} + \left(x - 5\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4x_{1} = 4
Signos de extremos en los puntos:
      4 
(4, -e )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4x_{1} = 4
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−3)ex=0\left(x - 3\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3,∞)\left[3, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,3]\left(-\infty, 3\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex(x−5))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \left(x - 5\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex(x−5))=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \left(x - 5\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 5)*E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−5)exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 5\right) e^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x−5)exx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 5\right) e^{x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex(x−5)=(−x−5)e−xe^{x} \left(x - 5\right) = \left(- x - 5\right) e^{- x}
- No
ex(x−5)=−(−x−5)e−xe^{x} \left(x - 5\right) = - \left(- x - 5\right) e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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