Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (xsinx)^(2/x)

Gráfico de la función y = (xsinx)^(2/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 2
                 -
                 x
f(x) = (x*sin(x))
f(x)=(xsin⁡(x))2xf{\left(x \right)} = \left(x \sin{\left(x \right)}\right)^{\frac{2}{x}} 
f = (x*sin(x))^(2/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005e103
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(xsin⁡(x))2x=0\left(x \sin{\left(x \right)}\right)^{\frac{2}{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=πx_{1} = \pi
Solución numérica
x1=3.14159265358979x_{1} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*sin(x))^(2/x).
(0sin⁡(0))20\left(0 \sin{\left(0 \right)}\right)^{\frac{2}{0}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(xsin⁡(x))2x(2(xcos⁡(x)+sin⁡(x))x2sin⁡(x)−2log⁡(xsin⁡(x))x2)=0\left(x \sin{\left(x \right)}\right)^{\frac{2}{x}} \left(\frac{2 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)}{x^{2} \sin{\left(x \right)}} - \frac{2 \log{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=64.353535678519x_{1} = 64.353535678519
x2=45.4912789519189x_{2} = 45.4912789519189
x3=−20.3219185389597x_{3} = -20.3219185389597
x4=−83.2111217234543x_{4} = -83.2111217234543
x5=58.0668113122561x_{5} = 58.0668113122561
x6=−7.7207209937478x_{6} = -7.7207209937478
x7=7.7207209937478x_{7} = 7.7207209937478
x8=−1.80762961228833x_{8} = -1.80762961228833
x9=−39.2019953200949x_{9} = -39.2019953200949
x10=89.4963760398139x_{10} = 89.4963760398139
x11=14.0211644956485x_{11} = 14.0211644956485
x12=−89.4963760398139x_{12} = -89.4963760398139
x13=−51.779456874484x_{13} = -51.779456874484
x14=70.6397667776691x_{14} = 70.6397667776691
x15=20.3219185389597x_{15} = 20.3219185389597
x16=−64.353535678519x_{16} = -64.353535678519
x17=32.9111796557931x_{17} = 32.9111796557931
x18=−95.7814107065248x_{18} = -95.7814107065248
x19=95.7814107065248x_{19} = 95.7814107065248
x20=−70.6397667776691x_{20} = -70.6397667776691
x21=26.6181669601049x_{21} = 26.6181669601049
x22=−32.9111796557931x_{22} = -32.9111796557931
x23=83.2111217234543x_{23} = 83.2111217234543
x24=51.779456874484x_{24} = 51.779456874484
x25=−45.4912789519189x_{25} = -45.4912789519189
x26=1.80762961228833x_{26} = 1.80762961228833
x27=−14.0211644956485x_{27} = -14.0211644956485
x28=−58.0668113122561x_{28} = -58.0668113122561
x29=39.2019953200949x_{29} = 39.2019953200949
x30=−76.9256040915276x_{30} = -76.9256040915276
x31=−26.6181669601049x_{31} = -26.6181669601049
x32=76.9256040915276x_{32} = 76.9256040915276
Signos de extremos en los puntos:
(64.35353567851901, 1.13812801425869)

(45.49127895191894, 1.18264236297507)

(-20.321918538959707, 0.743845723565398)

(-83.21112172345434, 0.899200987019857)

(58.06681131225609, 1.1500967424609)

(-7.720720993747798, 0.590282881579408)

(7.720720993747798, 1.69410299909819)

(-1.8076296122883309, 0.535960140363304)

(-39.20199532009489, 0.829400014889187)

(89.49637603981392, 1.10563083456696)

(14.021164495648476, 1.45599962314396)

(-89.49637603981392, 0.904461026895717)

(-51.77945687448397, 0.858651929942255)

(70.63976677766911, 1.128076256872)

(20.321918538959707, 1.34436479006265)

(-64.35353567851901, 0.878635783911656)

(32.91117965579308, 1.23632602735517)

(-95.78141070652478, 0.909149641323096)

(95.78141070652478, 1.09992893859001)

(-70.63976677766911, 0.886464894468098)

(26.61816696010494, 1.27927543691097)

(-32.91117965579308, 0.808848133804372)

(83.21112172345434, 1.11209842341723)

(51.77945687448397, 1.16461626082556)

(-45.49127895191894, 0.845564163188257)

(1.8076296122883309, 1.8658103927694)

(-14.021164495648476, 0.686813364580885)

(-58.06681131225609, 0.869492072345382)

(39.20199532009489, 1.20569083921901)

(-76.92560409152757, 0.893252853538935)

(-26.61816696010494, 0.781692488690843)

(76.92560409152757, 1.11950384041669)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−20.3219185389597x_{1} = -20.3219185389597
x2=−83.2111217234543x_{2} = -83.2111217234543
x3=−7.7207209937478x_{3} = -7.7207209937478
x4=−1.80762961228833x_{4} = -1.80762961228833
x5=−39.2019953200949x_{5} = -39.2019953200949
x6=−89.4963760398139x_{6} = -89.4963760398139
x7=−51.779456874484x_{7} = -51.779456874484
x8=−64.353535678519x_{8} = -64.353535678519
x9=−95.7814107065248x_{9} = -95.7814107065248
x10=−70.6397667776691x_{10} = -70.6397667776691
x11=−32.9111796557931x_{11} = -32.9111796557931
x12=−45.4912789519189x_{12} = -45.4912789519189
x13=−14.0211644956485x_{13} = -14.0211644956485
x14=−58.0668113122561x_{14} = -58.0668113122561
x15=−76.9256040915276x_{15} = -76.9256040915276
x16=−26.6181669601049x_{16} = -26.6181669601049
Puntos máximos de la función:
x16=64.353535678519x_{16} = 64.353535678519
x16=45.4912789519189x_{16} = 45.4912789519189
x16=58.0668113122561x_{16} = 58.0668113122561
x16=7.7207209937478x_{16} = 7.7207209937478
x16=89.4963760398139x_{16} = 89.4963760398139
x16=14.0211644956485x_{16} = 14.0211644956485
x16=70.6397667776691x_{16} = 70.6397667776691
x16=20.3219185389597x_{16} = 20.3219185389597
x16=32.9111796557931x_{16} = 32.9111796557931
x16=95.7814107065248x_{16} = 95.7814107065248
x16=26.6181669601049x_{16} = 26.6181669601049
x16=83.2111217234543x_{16} = 83.2111217234543
x16=51.779456874484x_{16} = 51.779456874484
x16=1.80762961228833x_{16} = 1.80762961228833
x16=39.2019953200949x_{16} = 39.2019953200949
x16=76.9256040915276x_{16} = 76.9256040915276
Decrece en los intervalos
[−1.80762961228833,1.80762961228833]\left[-1.80762961228833, 1.80762961228833\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−95.7814107065248]\left(-\infty, -95.7814107065248\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(xsin⁡(x))2xy = \lim_{x \to -\infty} \left(x \sin{\left(x \right)}\right)^{\frac{2}{x}}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(xsin⁡(x))2xy = \lim_{x \to \infty} \left(x \sin{\left(x \right)}\right)^{\frac{2}{x}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*sin(x))^(2/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞((xsin⁡(x))2xx)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x \sin{\left(x \right)}\right)^{\frac{2}{x}}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞((xsin⁡(x))2xx)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x \sin{\left(x \right)}\right)^{\frac{2}{x}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(xsin⁡(x))2x=(xsin⁡(x))−2x\left(x \sin{\left(x \right)}\right)^{\frac{2}{x}} = \left(x \sin{\left(x \right)}\right)^{- \frac{2}{x}}
- No
(xsin⁡(x))2x=−(xsin⁡(x))−2x\left(x \sin{\left(x \right)}\right)^{\frac{2}{x}} = - \left(x \sin{\left(x \right)}\right)^{- \frac{2}{x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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