Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((-7(x^(-2)))+arctg((2x-5)/x^2))

Gráfico de la función y = ((-7(x^(-2)))+arctg((2x-5)/x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         7        /2*x - 5\
f(x) = - -- + atan|-------|
          2       |    2  |
         x        \   x   /
f(x)=atan⁡(2x−5x2)−7x2f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}} 
f = atan((2*x - 5)/x^2) - 7/x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(2x−5x2)−7x2=0\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=6.04349308568818x_{1} = 6.04349308568818
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -7/x^2 + atan((2*x - 5)/x^2).
−70+atan⁡(−5+0⋅202)- \frac{7}{0} + \operatorname{atan}{\left(\frac{-5 + 0 \cdot 2}{0^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=⟨−π2,π2⟩+∞~f{\left(0 \right)} = \left\langle - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\rangle + \tilde{\infty}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x2−2(2x−5)x31+(2x−5)2x4+14x3=0\frac{\frac{2}{x^{2}} - \frac{2 \left(2 x - 5\right)}{x^{3}}}{1 + \frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{4}}} + \frac{14}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12.1200862059038x_{1} = 12.1200862059038
Signos de extremos en los puntos:
(12.1200862059038, 0.0825837867157309)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=12.1200862059038x_{1} = 12.1200862059038
Decrece en los intervalos
(−∞,12.1200862059038]\left(-\infty, 12.1200862059038\right]
Crece en los intervalos
[12.1200862059038,∞)\left[12.1200862059038, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(2x−5x2)−7x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(atan⁡(2x−5x2)−7x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -7/x^2 + atan((2*x - 5)/x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(2x−5x2)−7x2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(2x−5x2)−7x2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(2x−5x2)−7x2=−atan⁡(−−2x−5x2)−7x2\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{- 2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}}
- No
atan⁡(2x−5x2)−7x2=atan⁡(−−2x−5x2)+7x2\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}} = \operatorname{atan}{\left(- \frac{- 2 x - 5}{x^{2}} \right)} + \frac{7}{x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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