Sr Examen

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Gráfico de la función y = ((-7(x^(-2)))+arctg((2x-5)/x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
         7        /2*x - 5\
f(x) = - -- + atan|-------|
          2       |    2  |
         x        \   x   /
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}}$$
f = atan((2*x - 5)/x^2) - 7/x^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 6.04349308568818$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -7/x^2 + atan((2*x - 5)/x^2).
$$- \frac{7}{0} + \operatorname{atan}{\left(\frac{-5 + 0 \cdot 2}{0^{2}} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \left\langle - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\rangle + \tilde{\infty}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{2}{x^{2}} - \frac{2 \left(2 x - 5\right)}{x^{3}}}{1 + \frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{4}}} + \frac{14}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 12.1200862059038$$
Signos de extremos en los puntos:
(12.1200862059038, 0.0825837867157309)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 12.1200862059038$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 12.1200862059038\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[12.1200862059038, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -7/x^2 + atan((2*x - 5)/x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{- 2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}}$$
- No
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x - 5}{x^{2}} \right)} - \frac{7}{x^{2}} = \operatorname{atan}{\left(- \frac{- 2 x - 5}{x^{2}} \right)} + \frac{7}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar