Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (-3/2)cos(x/2-pi/3)

Gráfico de la función y = (-3/2)cos(x/2-pi/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             /x   pi\
       -3*cos|- - --|
             \2   3 /
f(x) = --------------
             2
f(x)=−3cos⁡(x2−π3)2f{\left(x \right)} = - \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} 
f = -3*cos(x/2 - pi/3)/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−3cos⁡(x2−π3)2=0- \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}
Solución numérica
x1=17.8023583703422x_{1} = 17.8023583703422
x2=−824.144472791722x_{2} = -824.144472791722
x3=99.4837673636768x_{3} = 99.4837673636768
x4=−202.109127380943x_{4} = -202.109127380943
x5=80.634211442138x_{5} = 80.634211442138
x6=−45.0294947014537x_{6} = -45.0294947014537
x7=−26.1799387799149x_{7} = -26.1799387799149
x8=−38.7463093942741x_{8} = -38.7463093942741
x9=24.0855436775217x_{9} = 24.0855436775217
x10=93.2005820564972x_{10} = 93.2005820564972
x11=68.0678408277789x_{11} = 68.0678408277789
x12=−13.6135681655558x_{12} = -13.6135681655558
x13=−57.5958653158129x_{13} = -57.5958653158129
x14=74.3510261349584x_{14} = 74.3510261349584
x15=86.9173967493176x_{15} = 86.9173967493176
x16=36.6519142918809x_{16} = 36.6519142918809
x17=−32.4631240870945x_{17} = -32.4631240870945
x18=−51.3126800086333x_{18} = -51.3126800086333
x19=55.5014702134197x_{19} = 55.5014702134197
x20=−290.073721681458x_{20} = -290.073721681458
x21=30.3687289847013x_{21} = 30.3687289847013
x22=−19.8967534727354x_{22} = -19.8967534727354
x23=61.7846555205993x_{23} = 61.7846555205993
x24=5.23598775598299x_{24} = 5.23598775598299
x25=275.412955964705x_{25} = 275.412955964705
x26=−1.0471975511966x_{26} = -1.0471975511966
x27=−7.33038285837618x_{27} = -7.33038285837618
x28=−70.162235930172x_{28} = -70.162235930172
x29=−95.2949771588904x_{29} = -95.2949771588904
x30=11.5191730631626x_{30} = 11.5191730631626
x31=577.005850709325x_{31} = 577.005850709325
x32=−89.0117918517108x_{32} = -89.0117918517108
x33=−63.8790506229925x_{33} = -63.8790506229925
x34=49.2182849062401x_{34} = 49.2182849062401
x35=42.9350995990605x_{35} = 42.9350995990605
x36=−76.4454212373516x_{36} = -76.4454212373516
x37=−101.57816246607x_{37} = -101.57816246607
x38=162.315620435473x_{38} = 162.315620435473
x39=−20226.6207013623x_{39} = -20226.6207013623
x40=−82.7286065445312x_{40} = -82.7286065445312
x41=−378.038315981972x_{41} = -378.038315981972
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -3*cos(x/2 - pi/3)/2.
−3cos⁡(−π3+02)2- \frac{3 \cos{\left(- \frac{\pi}{3} + \frac{0}{2} \right)}}{2}
Resultado:
f(0)=−34f{\left(0 \right)} = - \frac{3}{4}
Punto:
(0, -3/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3sin⁡(x2−π3)4=0\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
x2=8π3x_{2} = \frac{8 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
             /pi   pi\ 
       -3*cos|-- - --| 
 2*pi        \3    3 / 
(----, ---------------)
  3           2        

            /pi   pi\ 
       3*cos|-- - --| 
 8*pi       \3    3 / 
(----, --------------)
  3          2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=8π3x_{1} = \frac{8 \pi}{3}
Decrece en los intervalos
[2π3,8π3]\left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,2π3]∪[8π3,∞)\left(-\infty, \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{8 \pi}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3cos⁡(3x−2π6)8=0\frac{3 \cos{\left(\frac{3 x - 2 \pi}{6} \right)}}{8} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π3,5π3]\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π3]∪[5π3,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−3cos⁡(x2−π3)2)=⟨−32,32⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−32,32⟩y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(−3cos⁡(x2−π3)2)=⟨−32,32⟩\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−32,32⟩y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -3*cos(x/2 - pi/3)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−3cos⁡(x2−π3)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−3cos⁡(x2−π3)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−3cos⁡(x2−π3)2=−3cos⁡(x2+π3)2- \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} = - \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2}
- No
−3cos⁡(x2−π3)2=3cos⁡(x2+π3)2- \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} = \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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