Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^(3)+1)/(x^(2)-2x+2)

Gráfico de la función y = (x^(3)+1)/(x^(2)-2x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           3       
          x  + 1   
f(x) = ------------
        2          
       x  - 2*x + 2
f(x)=x3+1(x2−2x)+2f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} 
f = (x^3 + 1)/(x^2 - 2*x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3+1(x2−2x)+2=0\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3 + 1)/(x^2 - 2*x + 2).
03+1(02−0)+2\frac{0^{3} + 1}{\left(0^{2} - 0\right) + 2}
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2(x2−2x)+2+(2−2x)(x3+1)((x2−2x)+2)2=0\frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} + \frac{\left(2 - 2 x\right) \left(x^{3} + 1\right)}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−6x2(x−1)x2−2x+2+3x+(x3+1)(4(x−1)2x2−2x+2−1)x2−2x+2)x2−2x+2=0\frac{2 \left(- \frac{6 x^{2} \left(x - 1\right)}{x^{2} - 2 x + 2} + 3 x + \frac{\left(x^{3} + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} - 2 x + 2} - 1\right)}{x^{2} - 2 x + 2}\right)}{x^{2} - 2 x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32+5458+5i43+58+5i43x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{5}{4 \sqrt[3]{\frac{5}{8} + \frac{5 i}{4}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{8} + \frac{5 i}{4}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[32+5cos⁡(atan⁡(2)3),∞)\left[\frac{3}{2} + \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{3} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,32+5cos⁡(atan⁡(2)3)]\left(-\infty, \frac{3}{2} + \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{3} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3+1(x2−2x)+2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3+1(x2−2x)+2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 + 1)/(x^2 - 2*x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x3+1x((x2−2x)+2))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x3+1x((x2−2x)+2))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3+1(x2−2x)+2=1−x3x2+2x+2\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + 2 x + 2}
- No
x3+1(x2−2x)+2=−1−x3x2+2x+2\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = - \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + 2 x + 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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