Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
(3*x-4)^40/(x^2-2)^36
-
y=x^2-x
-
Expresiones idénticas
- (x^(tres)+ uno)/(x^(dos)- dos x+2)
- (x en el grado (3) más 1) dividir por (x en el grado (2) menos 2x más 2)
- (x en el grado (tres) más uno) dividir por (x en el grado (dos) menos dos x más 2)
- (x(3)+1)/(x(2)-2x+2)
- x3+1/x2-2x+2
- x^3+1/x^2-2x+2
- (x^(3)+1) dividir por (x^(2)-2x+2)
-
Expresiones semejantes
- (x^(3)-1)/(x^(2)-2x+2)
- (x^(3)+1)/(x^(2)+2x+2)
- (x^(3)+1)/(x^(2)-2x-2)
Gráfico de la función y = (x^(3)+1)/(x^(2)-2x+2)
Solución
Ha introducido
[src]
3
x + 1
f(x) = ------------
2
x - 2*x + 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}$$
f = (x^3 + 1)/(x^2 - 2*x + 2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} + \frac{\left(2 - 2 x\right) \left(x^{3} + 1\right)}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} + \frac{\left(2 - 2 x\right) \left(x^{3} + 1\right)}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{6 x^{2} \left(x - 1\right)}{x^{2} - 2 x + 2} + 3 x + \frac{\left(x^{3} + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} - 2 x + 2} - 1\right)}{x^{2} - 2 x + 2}\right)}{x^{2} - 2 x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{5}{4 \sqrt[3]{\frac{5}{8} + \frac{5 i}{4}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{8} + \frac{5 i}{4}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} + \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} + \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{6 x^{2} \left(x - 1\right)}{x^{2} - 2 x + 2} + 3 x + \frac{\left(x^{3} + 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} - 2 x + 2} - 1\right)}{x^{2} - 2 x + 2}\right)}{x^{2} - 2 x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{5}{4 \sqrt[3]{\frac{5}{8} + \frac{5 i}{4}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{8} + \frac{5 i}{4}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} + \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} + \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{3} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 + 1)/(x^2 - 2*x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + 2 x + 2}$$
- No
$$\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = - \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + 2 x + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + 2 x + 2}$$
- No
$$\frac{x^{3} + 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = - \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + 2 x + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar