Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (ln(x+2))/(x^2-2x-15)

Gráfico de la función y = (ln(x+2))/(x^2-2x-15)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         log(x + 2) 
f(x) = -------------
        2           
       x  - 2*x - 15
f(x)=log⁡(x+2)(x2−2x)−15f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15} 
f = log(x + 2)/(x^2 - 2*x - 15)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
x2=5x_{2} = 5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x+2)(x2−2x)−15=0\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x + 2)/(x^2 - 2*x - 15).
log⁡(2)−15+(02−0)\frac{\log{\left(2 \right)}}{-15 + \left(0^{2} - 0\right)}
Resultado:
f(0)=−log⁡(2)15f{\left(0 \right)} = - \frac{\log{\left(2 \right)}}{15}
Punto:
(0, -log(2)/15)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2−2x)log⁡(x+2)((x2−2x)−15)2+1(x+2)((x2−2x)−15)=0\frac{\left(2 - 2 x\right) \log{\left(x + 2 \right)}}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 15\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 15\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=51954.8782148017x_{1} = 51954.8782148017
x2=44433.287003174x_{2} = 44433.287003174
x3=29218.178928369x_{3} = 29218.178928369
x4=46586.909815324x_{4} = 46586.909815324
x5=39030.4628819986x_{5} = 39030.4628819986
x6=32503.9455845943x_{6} = 32503.9455845943
x7=24806.3946993147x_{7} = 24806.3946993147
x8=31410.5946593308x_{8} = 31410.5946593308
x9=42275.5531197959x_{9} = 42275.5531197959
x10=43354.9546107233x_{10} = 43354.9546107233
x11=40113.3581298092x_{11} = 40113.3581298092
x12=37946.2941328917x_{12} = 37946.2941328917
x13=47662.2759121061x_{13} = 47662.2759121061
x14=33595.5450208224x_{14} = 33595.5450208224
x15=41195.0372494573x_{15} = 41195.0372494573
x16=27017.2330579103x_{16} = 27017.2330579103
x17=45510.5923541551x_{17} = 45510.5923541551
x18=35773.880692567x_{18} = 35773.880692567
x19=34685.4932241995x_{19} = 34685.4932241995
x20=54096.2646101622x_{20} = 54096.2646101622
x21=49810.2884269045x_{21} = 49810.2884269045
x22=50882.9968334512x_{22} = 50882.9968334512
x23=55165.8183130813x_{23} = 55165.8183130813
x24=53025.9591266888x_{24} = 53025.9591266888
x25=48736.724789145x_{25} = 48736.724789145
x26=28118.8492012367x_{26} = 28118.8492012367
x27=36860.7894516671x_{27} = 36860.7894516671
x28=25913.1503160138x_{28} = 25913.1503160138
x29=30315.3806851375x_{29} = 30315.3806851375
Signos de extremos en los puntos:
(51954.87821480174, 4.02272802401915e-9)

(44433.28700317399, 5.42074602131573e-9)

(29218.178928369027, 1.20455605473335e-8)

(46586.909815324005, 4.95294679237901e-9)

(39030.46288199856, 6.94029816857179e-9)

(32503.945584594254, 9.8341259109447e-9)

(24806.394699314747, 1.64453316230206e-8)

(31410.5946593308, 1.04960029686837e-8)

(42275.55311979589, 5.96037497120672e-9)

(43354.95461072325, 5.68068692951642e-9)

(40113.35812980922, 6.58763595005875e-9)

(37946.29413289169, 7.32299477287485e-9)

(47662.27591210611, 4.7420103516651e-9)

(33595.545020822414, 9.23468799022874e-9)

(41195.03724945726, 6.26189919045723e-9)

(27017.23305791027, 1.39808578249759e-8)

(45510.59235415511, 5.17870953294903e-9)

(35773.88069256702, 8.19335594522242e-9)

(34685.493224199476, 8.68995207369588e-9)

(54096.264610162194, 3.7243502670973e-9)

(49810.28842690453, 4.35960044849507e-9)

(50882.99683345117, 4.18594717119499e-9)

(55165.81831308133, 3.58776575576764e-9)

(53025.959126688824, 3.86911208683347e-9)

(48736.724789145046, 4.54461166102352e-9)

(28118.84920123666, 1.29573647318588e-8)

(36860.78945166714, 7.73930288007335e-9)

(25913.15031601385, 1.51355152005804e-8)

(30315.3806851375, 1.12294961722123e-8)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
x2=5x_{2} = 5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+2)(x2−2x)−15)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x+2)(x2−2x)−15)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x + 2)/(x^2 - 2*x - 15), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+2)x((x2−2x)−15))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 15\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x+2)x((x2−2x)−15))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 15\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x+2)(x2−2x)−15=log⁡(2−x)x2+2x−15\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15} = \frac{\log{\left(2 - x \right)}}{x^{2} + 2 x - 15}
- No
log⁡(x+2)(x2−2x)−15=−log⁡(2−x)x2+2x−15\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15} = - \frac{\log{\left(2 - x \right)}}{x^{2} + 2 x - 15}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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