Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 5^-}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 5^+}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$