Sr Examen

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Gráfico de la función y = -(2-x)/((4*x+5-x^2)*sqrt(4*x+5-x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                    -2 + x             
f(x) = --------------------------------
                         ______________
       /           2\   /            2 
       \4*x + 5 - x /*\/  4*x + 5 - x  
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)}$$
f = (x - 2)/((sqrt(-x^2 + 4*x + 5)*(-x^2 + 4*x + 5)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-2 + x)/(((4*x + 5 - x^2)*sqrt(4*x + 5 - x^2))).
$$- \frac{2}{\sqrt{- 0^{2} + \left(0 \cdot 4 + 5\right)} \left(- 0^{2} + \left(0 \cdot 4 + 5\right)\right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{2 \sqrt{5}}{25}$$
Punto:
(0, -2*sqrt(5)/25)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(- \left(2 - x\right) \sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} - \left(4 - 2 x\right) \sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)}\right)}{\left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)^{3}} + \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 5^-}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 5^+}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 5$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-2 + x)/(((4*x + 5 - x^2)*sqrt(4*x + 5 - x^2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)} = \frac{- x - 2}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$$
- No
$$\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)} = - \frac{- x - 2}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar