Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
y=2x^2+x+1
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
Expresiones idénticas
- -(dos -x)/((cuatro *x+ cinco -x^ dos)*sqrt(cuatro *x+ cinco -x^ dos))
- menos (2 menos x) dividir por ((4 multiplicar por x más 5 menos x al cuadrado ) multiplicar por raíz cuadrada de (4 multiplicar por x más 5 menos x al cuadrado ))
- menos (dos menos x) dividir por ((cuatro multiplicar por x más cinco menos x en el grado dos) multiplicar por raíz cuadrada de (cuatro multiplicar por x más cinco menos x en el grado dos))
- -(2-x)/((4*x+5-x^2)*√(4*x+5-x^2))
- -(2-x)/((4*x+5-x2)*sqrt(4*x+5-x2))
- -2-x/4*x+5-x2*sqrt4*x+5-x2
- -(2-x)/((4*x+5-x²)*sqrt(4*x+5-x²))
- -(2-x)/((4*x+5-x en el grado 2)*sqrt(4*x+5-x en el grado 2))
- -(2-x)/((4x+5-x^2)sqrt(4x+5-x^2))
- -(2-x)/((4x+5-x2)sqrt(4x+5-x2))
- -2-x/4x+5-x2sqrt4x+5-x2
- -2-x/4x+5-x^2sqrt4x+5-x^2
- -(2-x) dividir por ((4*x+5-x^2)*sqrt(4*x+5-x^2))
-
Expresiones semejantes
- -(2-x)/((4*x+5-x^2)*sqrt(4*x-5-x^2))
- -(2-x)/((4*x+5+x^2)*sqrt(4*x+5-x^2))
- -(2-x)/((4*x+5-x^2)*sqrt(4*x+5+x^2))
- -(2-x)/((4*x-5-x^2)*sqrt(4*x+5-x^2))
- (2-x)/((4*x+5-x^2)*sqrt(4*x+5-x^2))
- -(2+x)/((4*x+5-x^2)*sqrt(4*x+5-x^2))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((-1-x^2)/(1+x^2))
- sqrt(x)^2-4*x
- sqrt(x)+sqrt(4)
- sqrt(x)(lnx-2)
- sqrt(x)/e^x
Gráfico de la función y = -(2-x)/((4*x+5-x^2)*sqrt(4*x+5-x^2))
Solución
Ha introducido
[src]
-2 + x
f(x) = --------------------------------
______________
/ 2\ / 2
\4*x + 5 - x /*\/ 4*x + 5 - x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)}$$
f = (x - 2)/((sqrt(-x^2 + 4*x + 5)*(-x^2 + 4*x + 5)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(- \left(2 - x\right) \sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} - \left(4 - 2 x\right) \sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)}\right)}{\left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)^{3}} + \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(- \left(2 - x\right) \sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} - \left(4 - 2 x\right) \sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)}\right)}{\left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)^{3}} + \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 5^-}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 5^+}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 5^-}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 5^+}\left(3 \left(x - 2\right) \left(\frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}} - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{3}} + \frac{2}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{5}{2}}}\right)\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-2 + x)/(((4*x + 5 - x^2)*sqrt(4*x + 5 - x^2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)} = \frac{- x - 2}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$$
- No
$$\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)} = - \frac{- x - 2}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)} = \frac{- x - 2}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$$
- No
$$\frac{x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)} = - \frac{- x - 2}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar