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Trazado el gráfico de la función/ x*x^2-9x+6

Gráfico de la función y = x*x^2-9x+6

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2          
f(x) = x*x  - 9*x + 6
f(x)=(xx2−9x)+6f{\left(x \right)} = \left(x x^{2} - 9 x\right) + 6 
f = x*x^2 - 9*x + 6
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(xx2−9x)+6=0\left(x x^{2} - 9 x\right) + 6 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−81+812i33−981+812i3x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{81 + 81 \sqrt{2} i}}{3} - \frac{9}{\sqrt[3]{81 + 81 \sqrt{2} i}}
Solución numérica
x1=2.58422544321652x_{1} = 2.58422544321652
x2=0.705719639720958x_{2} = 0.705719639720958
x3=−3.28994508293748x_{3} = -3.28994508293748
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*x^2 - 9*x + 6.
(0⋅02−0)+6\left(0 \cdot 0^{2} - 0\right) + 6
Resultado:
f(0)=6f{\left(0 \right)} = 6
Punto:
(0, 6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−9=03 x^{2} - 9 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = - \sqrt{3}
x2=3x_{2} = \sqrt{3}
Signos de extremos en los puntos:
    ___          ___ 
(-\/ 3, 6 + 6*\/ 3 )

   ___          ___ 
(\/ 3, 6 - 6*\/ 3 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = \sqrt{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−3x_{1} = - \sqrt{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]∪[3,∞)\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−3,3]\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6x=06 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((xx2−9x)+6)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x x^{2} - 9 x\right) + 6\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((xx2−9x)+6)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x x^{2} - 9 x\right) + 6\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*x^2 - 9*x + 6, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((xx2−9x)+6x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x x^{2} - 9 x\right) + 6}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((xx2−9x)+6x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x x^{2} - 9 x\right) + 6}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(xx2−9x)+6=−x3+9x+6\left(x x^{2} - 9 x\right) + 6 = - x^{3} + 9 x + 6
- No
(xx2−9x)+6=x3−9x−6\left(x x^{2} - 9 x\right) + 6 = x^{3} - 9 x - 6
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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