Sr Examen

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1/(x*(3-x-x*log(x)))
Trazado el gráfico de la función/ 1/(x*(3-x-x*log(x)))

Gráfico de la función y = 1/(x*(3-x-x*log(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                1          
f(x) = --------------------
       x*(3 - x - x*log(x))
f(x)=1x(−xlog⁡(x)+(3−x))f{\left(x \right)} = \frac{1}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(3 - x\right)\right)} 
f = 1/(x*(-x*log(x) + 3 - x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1.85455071909613x_{2} = 1.85455071909613
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1x(−xlog⁡(x)+(3−x))=0\frac{1}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(3 - x\right)\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(x*(3 - x - x*log(x))).
10(−0log⁡(0)+(3−0))\frac{1}{0 \left(- 0 \log{\left(0 \right)} + \left(3 - 0\right)\right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x(−xlog⁡(x)+(3−x))(−x(−log⁡(x)−2)+xlog⁡(x)+x−3)x(−xlog⁡(x)+(3−x))=0\frac{\frac{1}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(3 - x\right)\right)} \left(- x \left(- \log{\left(x \right)} - 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3\right)}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(3 - x\right)\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−32+W(3e322)x_{1} = e^{- \frac{3}{2} + W\left(\frac{3 e^{\frac{3}{2}}}{2}\right)}
Signos de extremos en los puntos:
                                               /   3/2\                      
         /   3/2\                         3    |3*e   |                      
    3    |3*e   |                         - - W|------|                      
  - - + W|------|                         2    \  2   /                      
    2    \  2   /                        e                                   
(e              , ---------------------------------------------------------)
                               /   3/2\                             /   3/2\ 
                          3    |3*e   |                        3    |3*e   | 
                        - - + W|------|   /       /   3/2\\  - - + W|------| 
                          2    \  2   /   |  3    |3*e   ||    2    \  2   / 
                   3 - e                - |- - + W|------||*e                
                                          \  2    \  2   //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e−32+W(3e322)x_{1} = e^{- \frac{3}{2} + W\left(\frac{3 e^{\frac{3}{2}}}{2}\right)}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[e−32+W(3e322),∞)\left[e^{- \frac{3}{2} + W\left(\frac{3 e^{\frac{3}{2}}}{2}\right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,e−32+W(3e322)]\left(-\infty, e^{- \frac{3}{2} + W\left(\frac{3 e^{\frac{3}{2}}}{2}\right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(log⁡(x)+2xlog⁡(x)+x−3+1x)(x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3)−(log⁡(x)+2)(x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3)xlog⁡(x)+x−3+2log⁡(x)+5−x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3xx2(xlog⁡(x)+x−3)2=0\frac{- \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 2}{x \log{\left(x \right)} + x - 3} + \frac{1}{x}\right) \left(x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3\right) - \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2\right) \left(x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3\right)}{x \log{\left(x \right)} + x - 3} + 2 \log{\left(x \right)} + 5 - \frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3}{x}}{x^{2} \left(x \log{\left(x \right)} + x - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3083.01279622447x_{1} = 3083.01279622447
x2=5357.17083543138x_{2} = 5357.17083543138
x3=1395.14427660911x_{3} = 1395.14427660911
x4=3649.56462473852x_{4} = 3649.56462473852
x5=5547.50664569847x_{5} = 5547.50664569847
x6=8604.8129104997x_{6} = 8604.8129104997
x7=8413.17431392798x_{7} = 8413.17431392798
x8=7838.65369462865x_{8} = 7838.65369462865
x9=6882.55047288283x_{9} = 6882.55047288283
x10=4217.56921314887x_{10} = 4217.56921314887
x11=6691.56392415366x_{11} = 6691.56392415366
x12=1209.01064533135x_{12} = 1209.01064533135
x13=6500.66115746419x_{13} = 6500.66115746419
x14=2142.74527775831x_{14} = 2142.74527775831
x15=2330.33986079912x_{15} = 2330.33986079912
x16=5166.94219284043x_{16} = 5166.94219284043
x17=7455.98750923113x_{17} = 7455.98750923113
x18=4407.19047333876x_{18} = 4407.19047333876
x19=1023.18115505367x_{19} = 1023.18115505367
x20=8796.51457367029x_{20} = 8796.51457367029
x21=4976.82502762394x_{21} = 4976.82502762394
x22=3271.68715367179x_{22} = 3271.68715367179
x23=3460.54100103902x_{23} = 3460.54100103902
x24=1955.41141596735x_{24} = 1955.41141596735
x25=8221.60042105109x_{25} = 8221.60042105109
x26=1768.3555947259x_{26} = 1768.3555947259
x27=8988.27774009301x_{27} = 8988.27774009301
x28=4028.08649965968x_{28} = 4028.08649965968
x29=1581.5949680715x_{29} = 1581.5949680715
x30=2518.17863873065x_{30} = 2518.17863873065
x31=7264.76465782928x_{31} = 7264.76465782928
x32=4596.94399285195x_{32} = 4596.94399285195
x33=2706.2462488441x_{33} = 2706.2462488441
x34=4786.82396767143x_{34} = 4786.82396767143
x35=7647.28455238836x_{35} = 7647.28455238836
x36=9180.10091548322x_{36} = 9180.10091548322
x37=7073.61820345915x_{37} = 7073.61820345915
x38=6119.11815517186x_{38} = 6119.11815517186
x39=9371.98267031054x_{39} = 9371.98267031054
x40=6309.84492717354x_{40} = 6309.84492717354
x41=3838.74915993612x_{41} = 3838.74915993612
x42=8030.09294782234x_{42} = 8030.09294782234
x43=2894.52859015622x_{43} = 2894.52859015622
x44=5737.94560228732x_{44} = 5737.94560228732
x45=5928.48394576449x_{45} = 5928.48394576449
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=1.85455071909613x_{2} = 1.85455071909613

lim⁡x→0−(−(log⁡(x)+2xlog⁡(x)+x−3+1x)(x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3)−(log⁡(x)+2)(x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3)xlog⁡(x)+x−3+2log⁡(x)+5−x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3xx2(xlog⁡(x)+x−3)2)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 2}{x \log{\left(x \right)} + x - 3} + \frac{1}{x}\right) \left(x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3\right) - \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2\right) \left(x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3\right)}{x \log{\left(x \right)} + x - 3} + 2 \log{\left(x \right)} + 5 - \frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3}{x}}{x^{2} \left(x \log{\left(x \right)} + x - 3\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(−(log⁡(x)+2xlog⁡(x)+x−3+1x)(x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3)−(log⁡(x)+2)(x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3)xlog⁡(x)+x−3+2log⁡(x)+5−x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3xx2(xlog⁡(x)+x−3)2)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 2}{x \log{\left(x \right)} + x - 3} + \frac{1}{x}\right) \left(x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3\right) - \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2\right) \left(x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3\right)}{x \log{\left(x \right)} + x - 3} + 2 \log{\left(x \right)} + 5 - \frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3}{x}}{x^{2} \left(x \log{\left(x \right)} + x - 3\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión
lim⁡x→1.85455071909613−(−(log⁡(x)+2xlog⁡(x)+x−3+1x)(x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3)−(log⁡(x)+2)(x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3)xlog⁡(x)+x−3+2log⁡(x)+5−x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3xx2(xlog⁡(x)+x−3)2)=5.14445688441069⋅1047\lim_{x \to 1.85455071909613^-}\left(\frac{- \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 2}{x \log{\left(x \right)} + x - 3} + \frac{1}{x}\right) \left(x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3\right) - \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2\right) \left(x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3\right)}{x \log{\left(x \right)} + x - 3} + 2 \log{\left(x \right)} + 5 - \frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3}{x}}{x^{2} \left(x \log{\left(x \right)} + x - 3\right)^{2}}\right) = 5.14445688441069 \cdot 10^{47}
lim⁡x→1.85455071909613+(−(log⁡(x)+2xlog⁡(x)+x−3+1x)(x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3)−(log⁡(x)+2)(x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3)xlog⁡(x)+x−3+2log⁡(x)+5−x(log⁡(x)+2)+xlog⁡(x)+x−3xx2(xlog⁡(x)+x−3)2)=5.14445688441069⋅1047\lim_{x \to 1.85455071909613^+}\left(\frac{- \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 2}{x \log{\left(x \right)} + x - 3} + \frac{1}{x}\right) \left(x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3\right) - \frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2\right) \left(x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3\right)}{x \log{\left(x \right)} + x - 3} + 2 \log{\left(x \right)} + 5 - \frac{x \left(\log{\left(x \right)} + 2\right) + x \log{\left(x \right)} + x - 3}{x}}{x^{2} \left(x \log{\left(x \right)} + x - 3\right)^{2}}\right) = 5.14445688441069 \cdot 10^{47}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1.85455071909613x_{2} = 1.85455071909613
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1x(−xlog⁡(x)+(3−x))=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(3 - x\right)\right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1x(−xlog⁡(x)+(3−x))=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(3 - x\right)\right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x*(3 - x - x*log(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x1−xlog⁡(x)+(3−x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{- x \log{\left(x \right)} + \left(3 - x\right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x1−xlog⁡(x)+(3−x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{- x \log{\left(x \right)} + \left(3 - x\right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1x(−xlog⁡(x)+(3−x))=−1x(xlog⁡(−x)+x+3)\frac{1}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(3 - x\right)\right)} = - \frac{1}{x \left(x \log{\left(- x \right)} + x + 3\right)}
- No
1x(−xlog⁡(x)+(3−x))=1x(xlog⁡(−x)+x+3)\frac{1}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(3 - x\right)\right)} = \frac{1}{x \left(x \log{\left(- x \right)} + x + 3\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 1/(x*(3-x-x*log(x)))
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