Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 1/(x*(3+x-x*log(x)))

Gráfico de la función y = 1/(x*(3+x-x*log(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                1          
f(x) = --------------------
       x*(3 + x - x*log(x))
f(x)=1x(−xlog⁡(x)+(x+3))f{\left(x \right)} = \frac{1}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(x + 3\right)\right)} 
f = 1/(x*(-x*log(x) + x + 3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=4.97062575954423x_{2} = 4.97062575954423
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1x(−xlog⁡(x)+(x+3))=0\frac{1}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(x + 3\right)\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(x*(3 + x - x*log(x))).
10(−0log⁡(0)+3)\frac{1}{0 \left(- 0 \log{\left(0 \right)} + 3\right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x(−xlog⁡(x)+(x+3))(2xlog⁡(x)−x−3)x(−xlog⁡(x)+(x+3))=0\frac{\frac{1}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(x + 3\right)\right)} \left(2 x \log{\left(x \right)} - x - 3\right)}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(x + 3\right)\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e12+W(32e12)x_{1} = e^{\frac{1}{2} + W\left(\frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right)}
Signos de extremos en los puntos:
                                            /   -1/2\                    
       /   -1/2\                       1    |3*e    |                    
  1    |3*e    |                     - - - W|-------|                    
  - + W|-------|                       2    \   2   /                    
  2    \   2   /                    e                                    
(e             , ------------------------------------------------------)
                                             /   -1/2\         /   -1/2\ 
                                        1    |3*e    |    1    |3*e    | 
                      /     /   -1/2\\  - + W|-------|    - + W|-------| 
                      |1    |3*e    ||  2    \   2   /    2    \   2   / 
                  3 - |- + W|-------||*e               + e               
                      \2    \   2   //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e12+W(32e12)x_{1} = e^{\frac{1}{2} + W\left(\frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right)}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[e12+W(32e12),∞)\left[e^{\frac{1}{2} + W\left(\frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,e12+W(32e12)]\left(-\infty, e^{\frac{1}{2} + W\left(\frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(log⁡(x)−xlog⁡(x)+x+3−1x)(−2xlog⁡(x)+x+3)−(−2xlog⁡(x)+x+3)log⁡(x)−xlog⁡(x)+x+3+2log⁡(x)+1+−2xlog⁡(x)+x+3xx2(−xlog⁡(x)+x+3)2=0\frac{- \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)} + x + 3} - \frac{1}{x}\right) \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3\right) - \frac{\left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3\right) \log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)} + x + 3} + 2 \log{\left(x \right)} + 1 + \frac{- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3}{x}}{x^{2} \left(- x \log{\left(x \right)} + x + 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1329.77983397393x_{1} = 1329.77983397393
x2=1864.79216386676x_{2} = 1864.79216386676
x3=3659.99069733403x_{3} = 3659.99069733403
x4=2580.17551826721x_{4} = 2580.17551826721
x5=6205.89669284138x_{5} = 6205.89669284138
x6=2939.21762712816x_{6} = 2939.21762712816
x7=5293.06907088743x_{7} = 5293.06907088743
x8=6571.96316874159x_{8} = 6571.96316874159
x9=6023.05584181322x_{9} = 6023.05584181322
x10=8593.40594449503x_{10} = 8593.40594449503
x11=7305.53625021851x_{11} = 7305.53625021851
x12=8409.13015490223x_{12} = 8409.13015490223
x13=3479.47473740271x_{13} = 3479.47473740271
x14=5475.35060413016x_{14} = 5475.35060413016
x15=7856.87695934012x_{15} = 7856.87695934012
x16=7121.97119628465x_{16} = 7121.97119628465
x17=6388.86705018131x_{17} = 6388.86705018131
x18=4565.50623012315x_{18} = 4565.50623012315
x19=4021.62932451542x_{19} = 4021.62932451542
x20=4384.03319415703x_{20} = 4384.03319415703
x21=2222.05541163804x_{21} = 2222.05541163804
x22=6938.51857053392x_{22} = 6938.51857053392
x23=1151.17705697708x_{23} = 1151.17705697708
x24=2401.00158869569x_{24} = 2401.00158869569
x25=2759.58102657328x_{25} = 2759.58102657328
x26=1508.1171708508x_{26} = 1508.1171708508
x27=3299.16978222964x_{27} = 3299.16978222964
x28=8777.7736938764x_{28} = 8777.7736938764
x29=3119.08215025949x_{29} = 3119.08215025949
x30=1686.41288243452x_{30} = 1686.41288243452
x31=5840.34842648046x_{31} = 5840.34842648046
x32=4202.73882370202x_{32} = 4202.73882370202
x33=2043.32624407698x_{33} = 2043.32624407698
x34=7489.2107657662x_{34} = 7489.2107657662
x35=4747.15195156773x_{35} = 4747.15195156773
x36=3840.71109908618x_{36} = 3840.71109908618
x37=6755.18147764661x_{37} = 6755.18147764661
x38=1033.83458747321x_{38} = 1033.83458747321
x39=8040.86332643922x_{39} = 8040.86332643922
x40=5110.93874116986x_{40} = 5110.93874116986
x41=4928.96461937267x_{41} = 4928.96461937267
x42=7672.99190661819x_{42} = 7672.99190661819
x43=8224.94851986206x_{43} = 8224.94851986206
x44=5657.77857087083x_{44} = 5657.77857087083
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=4.97062575954423x_{2} = 4.97062575954423

lim⁡x→0−(−(log⁡(x)−xlog⁡(x)+x+3−1x)(−2xlog⁡(x)+x+3)−(−2xlog⁡(x)+x+3)log⁡(x)−xlog⁡(x)+x+3+2log⁡(x)+1+−2xlog⁡(x)+x+3xx2(−xlog⁡(x)+x+3)2)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)} + x + 3} - \frac{1}{x}\right) \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3\right) - \frac{\left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3\right) \log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)} + x + 3} + 2 \log{\left(x \right)} + 1 + \frac{- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3}{x}}{x^{2} \left(- x \log{\left(x \right)} + x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(−(log⁡(x)−xlog⁡(x)+x+3−1x)(−2xlog⁡(x)+x+3)−(−2xlog⁡(x)+x+3)log⁡(x)−xlog⁡(x)+x+3+2log⁡(x)+1+−2xlog⁡(x)+x+3xx2(−xlog⁡(x)+x+3)2)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)} + x + 3} - \frac{1}{x}\right) \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3\right) - \frac{\left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3\right) \log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)} + x + 3} + 2 \log{\left(x \right)} + 1 + \frac{- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3}{x}}{x^{2} \left(- x \log{\left(x \right)} + x + 3\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión
lim⁡x→4.97062575954423−(−(log⁡(x)−xlog⁡(x)+x+3−1x)(−2xlog⁡(x)+x+3)−(−2xlog⁡(x)+x+3)log⁡(x)−xlog⁡(x)+x+3+2log⁡(x)+1+−2xlog⁡(x)+x+3xx2(−xlog⁡(x)+x+3)2)=−∞\lim_{x \to 4.97062575954423^-}\left(\frac{- \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)} + x + 3} - \frac{1}{x}\right) \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3\right) - \frac{\left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3\right) \log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)} + x + 3} + 2 \log{\left(x \right)} + 1 + \frac{- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3}{x}}{x^{2} \left(- x \log{\left(x \right)} + x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→4.97062575954423+(−(log⁡(x)−xlog⁡(x)+x+3−1x)(−2xlog⁡(x)+x+3)−(−2xlog⁡(x)+x+3)log⁡(x)−xlog⁡(x)+x+3+2log⁡(x)+1+−2xlog⁡(x)+x+3xx2(−xlog⁡(x)+x+3)2)=−∞\lim_{x \to 4.97062575954423^+}\left(\frac{- \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)} + x + 3} - \frac{1}{x}\right) \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3\right) - \frac{\left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3\right) \log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)} + x + 3} + 2 \log{\left(x \right)} + 1 + \frac{- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 3}{x}}{x^{2} \left(- x \log{\left(x \right)} + x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=4.97062575954423x_{2} = 4.97062575954423
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1x(−xlog⁡(x)+(x+3))=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(x + 3\right)\right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1x(−xlog⁡(x)+(x+3))=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(x + 3\right)\right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x*(3 + x - x*log(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x1−xlog⁡(x)+(x+3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{- x \log{\left(x \right)} + \left(x + 3\right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x1−xlog⁡(x)+(x+3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{- x \log{\left(x \right)} + \left(x + 3\right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1x(−xlog⁡(x)+(x+3))=−1x(xlog⁡(−x)−x+3)\frac{1}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(x + 3\right)\right)} = - \frac{1}{x \left(x \log{\left(- x \right)} - x + 3\right)}
- No
1x(−xlog⁡(x)+(x+3))=1x(xlog⁡(−x)−x+3)\frac{1}{x \left(- x \log{\left(x \right)} + \left(x + 3\right)\right)} = \frac{1}{x \left(x \log{\left(- x \right)} - x + 3\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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