Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x)+2+sqrt(5)-4*x-x^2

Gráfico de la función y = sqrt(x)+2+sqrt(5)-4*x-x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___         ___          2
f(x) = \/ x  + 2 + \/ 5  - 4*x - x
f(x)=−x2+(−4x+((x+2)+5))f{\left(x \right)} = - x^{2} + \left(- 4 x + \left(\left(\sqrt{x} + 2\right) + \sqrt{5}\right)\right) 
f = -x^2 - 4*x + sqrt(x) + 2 + sqrt(5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x2+(−4x+((x+2)+5))=0- x^{2} + \left(- 4 x + \left(\left(\sqrt{x} + 2\right) + \sqrt{5}\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2+−2(−12−25)3216+116+(−43−125−(−12−25)212)327+((−12−25)(125+43)3−18−(−12−25)3108)24−(−12−25)(125+43)63+2(−43−125−(−12−25)212)3(−12−25)3216+116+(−43−125−(−12−25)212)327+((−12−25)(125+43)3−18−(−12−25)3108)24−(−12−25)(125+43)63+2453+8−2(−43−125−(−12−25)212)3(−12−25)3216+116+(−43−125−(−12−25)212)327+((−12−25)(125+43)3−18−(−12−25)3108)24−(−12−25)(125+43)63+2(−12−25)3216+116+(−43−125−(−12−25)212)327+((−12−25)(125+43)3−18−(−12−25)3108)24−(−12−25)(125+43)63+853+162+453+8−2(−43−125−(−12−25)212)3(−12−25)3216+116+(−43−125−(−12−25)212)327+((−12−25)(125+43)3−18−(−12−25)3108)24−(−12−25)(125+43)63+2(−12−25)3216+116+(−43−125−(−12−25)212)327+((−12−25)(125+43)3−18−(−12−25)3108)24−(−12−25)(125+43)632x_{1} = -2 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{3}}{216} + \frac{1}{16} + \sqrt{\frac{\left(-43 - 12 \sqrt{5} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{2}}{12}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(\frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right) \left(12 \sqrt{5} + 43\right)}{3} - \frac{1}{8} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{3}}{108}\right)^{2}}{4}} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right) \left(12 \sqrt{5} + 43\right)}{6}} + \frac{2 \left(-43 - 12 \sqrt{5} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{2}}{12}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{3}}{216} + \frac{1}{16} + \sqrt{\frac{\left(-43 - 12 \sqrt{5} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{2}}{12}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(\frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right) \left(12 \sqrt{5} + 43\right)}{3} - \frac{1}{8} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{3}}{108}\right)^{2}}{4}} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right) \left(12 \sqrt{5} + 43\right)}{6}}} + \frac{2}{\sqrt{\frac{4 \sqrt{5}}{3} + 8 - \frac{2 \left(-43 - 12 \sqrt{5} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{2}}{12}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{3}}{216} + \frac{1}{16} + \sqrt{\frac{\left(-43 - 12 \sqrt{5} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{2}}{12}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(\frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right) \left(12 \sqrt{5} + 43\right)}{3} - \frac{1}{8} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{3}}{108}\right)^{2}}{4}} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right) \left(12 \sqrt{5} + 43\right)}{6}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{3}}{216} + \frac{1}{16} + \sqrt{\frac{\left(-43 - 12 \sqrt{5} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{2}}{12}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(\frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right) \left(12 \sqrt{5} + 43\right)}{3} - \frac{1}{8} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{3}}{108}\right)^{2}}{4}} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right) \left(12 \sqrt{5} + 43\right)}{6}}}} + \frac{8 \sqrt{5}}{3} + 16}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{4 \sqrt{5}}{3} + 8 - \frac{2 \left(-43 - 12 \sqrt{5} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{2}}{12}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{3}}{216} + \frac{1}{16} + \sqrt{\frac{\left(-43 - 12 \sqrt{5} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{2}}{12}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(\frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right) \left(12 \sqrt{5} + 43\right)}{3} - \frac{1}{8} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{3}}{108}\right)^{2}}{4}} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right) \left(12 \sqrt{5} + 43\right)}{6}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{3}}{216} + \frac{1}{16} + \sqrt{\frac{\left(-43 - 12 \sqrt{5} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{2}}{12}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(\frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right) \left(12 \sqrt{5} + 43\right)}{3} - \frac{1}{8} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right)^{3}}{108}\right)^{2}}{4}} - \frac{\left(-12 - 2 \sqrt{5}\right) \left(12 \sqrt{5} + 43\right)}{6}}}}{2}
Solución numérica
x1=1.04255193956138x_{1} = 1.04255193956138
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x) + 2 + sqrt(5) - 4*x - x^2.
−02+(−0+((0+2)+5))- 0^{2} + \left(- 0 + \left(\left(\sqrt{0} + 2\right) + \sqrt{5}\right)\right)
Resultado:
f(0)=2+5f{\left(0 \right)} = 2 + \sqrt{5}
Punto:
(0, 2 + sqrt(5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x−4+12x=0- 2 x - 4 + \frac{1}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=(−2318+733723+18+733723)2x_{1} = \left(- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \frac{7 \sqrt{33}}{72}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \frac{7 \sqrt{33}}{72}}\right)^{2}
Signos de extremos en los puntos:
                                              2                                                                                 4                                                  2                         
 /     ______________                        \                    ______________   /     ______________                        \      /     ______________                        \                          
 |    /         ____                         |                   /         ____    |    /         ____                         |      |    /         ____                         |                          
 |   /  1   7*\/ 33               2          |         ___      /  1   7*\/ 33     |   /  1   7*\/ 33               2          |      |   /  1   7*\/ 33               2          |              2           
(|3 /   - + --------  - ---------------------|, 2 + \/ 5  + 3 /   - + --------  - |3 /   - + --------  - ---------------------|  - 4*|3 /   - + --------  - ---------------------|  - ---------------------)
 |\/    8      72              ______________|               \/    8      72       |\/    8      72              ______________|      |\/    8      72              ______________|           ______________ 
 |                            /         ____ |                                     |                            /         ____ |      |                            /         ____ |          /         ____  
 |                           /  1   7*\/ 33  |                                     |                           /  1   7*\/ 33  |      |                           /  1   7*\/ 33  |         /  1   7*\/ 33   
 |                      3*3 /   - + -------- |                                     |                      3*3 /   - + -------- |      |                      3*3 /   - + -------- |    3*3 /   - + --------  
 \                        \/    8      72    /                                     \                        \/    8      72    /      \                        \/    8      72    /      \/    8      72


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=(−2318+733723+18+733723)2x_{1} = \left(- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \frac{7 \sqrt{33}}{72}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \frac{7 \sqrt{33}}{72}}\right)^{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,(−2318+733723+18+733723)2]\left(-\infty, \left(- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \frac{7 \sqrt{33}}{72}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \frac{7 \sqrt{33}}{72}}\right)^{2}\right]
Crece en los intervalos
[(−2318+733723+18+733723)2,∞)\left[\left(- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \frac{7 \sqrt{33}}{72}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \frac{7 \sqrt{33}}{72}}\right)^{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(2+14x32)=0- (2 + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x2+(−4x+((x+2)+5)))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + \left(- 4 x + \left(\left(\sqrt{x} + 2\right) + \sqrt{5}\right)\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x2+(−4x+((x+2)+5)))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + \left(- 4 x + \left(\left(\sqrt{x} + 2\right) + \sqrt{5}\right)\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x) + 2 + sqrt(5) - 4*x - x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x2+(−4x+((x+2)+5))x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(- 4 x + \left(\left(\sqrt{x} + 2\right) + \sqrt{5}\right)\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−x2+(−4x+((x+2)+5))x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(- 4 x + \left(\left(\sqrt{x} + 2\right) + \sqrt{5}\right)\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x2+(−4x+((x+2)+5))=−x2+4x+−x+2+5- x^{2} + \left(- 4 x + \left(\left(\sqrt{x} + 2\right) + \sqrt{5}\right)\right) = - x^{2} + 4 x + \sqrt{- x} + 2 + \sqrt{5}
- No
−x2+(−4x+((x+2)+5))=x2−4x−−x−5−2- x^{2} + \left(- 4 x + \left(\left(\sqrt{x} + 2\right) + \sqrt{5}\right)\right) = x^{2} - 4 x - \sqrt{- x} - \sqrt{5} - 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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