Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{4 \left(- \log{\left(x \right)}^{3} + 3 \log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[e^{\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}}, \infty\right)$$