Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{12 x \left(- \frac{3 x^{3}}{2 x^{3} + 3} + 1\right)}{2 x^{3} + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \sqrt[3]{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \sqrt[3]{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt[3]{3}, \infty\right)$$