Puntos en los que la función no está definida exactamente: x1=0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0 o sea hay que resolver la ecuación: xlog(x)2=0 Resolvermos esta ecuación Puntos de cruce con el eje X:
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0: sustituimos x = 0 en log(x)^2/x. 0log(0)2 Resultado: f(0)=∞~ signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación dxdf(x)=0 (la derivada es igual a cero), y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función: dxdf(x)= primera derivada −x2log(x)2+x22log(x)=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=1 x2=e2 Signos de extremos en los puntos:
(1, 0)
2 -2
(e, 4*e )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo: Puntos mínimos de la función: x1=1 Puntos máximos de la función: x1=e2 Decrece en los intervalos [1,e2] Crece en los intervalos (−∞,1]∪[e2,∞)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación dx2d2f(x)=0 (la segunda derivada es igual a cero), las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado: dx2d2f(x)= segunda derivada x32(log(x)2−3log(x)+1)=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=e23−25 x2=e25+23 Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función: Puntos donde hay indeterminación: x1=0
x→0−limx32(log(x)2−3log(x)+1)=−∞ x→0+limx32(log(x)2−3log(x)+1)=∞ - los límites no son iguales, signo x1=0 - es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad: Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones: Cóncava en los intervalos (−∞,e23−25]∪[e25+23,∞) Convexa en los intervalos [e23−25,e25+23]
Asíntotas verticales
Hay: x1=0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo x→−∞lim(xlog(x)2)=0 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda: y=0 x→∞lim(xlog(x)2)=0 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la derecha: y=0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)^2/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo x→−∞lim(x2log(x)2)=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha x→∞lim(x2log(x)2)=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x). Pues, comprobamos: xlog(x)2=−xlog(−x)2 - No xlog(x)2=xlog(−x)2 - No es decir, función no es par ni impar