Sr Examen

Gráfico de la función y = (ln^2(x))/(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          2   
       log (x)
f(x) = -------
          x   
f(x)=log(x)2xf{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}
f = log(x)^2/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log(x)2x=0\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=0.999999547588233x_{1} = 0.999999547588233
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)^2/x.
log(0)20\frac{\log{\left(0 \right)}^{2}}{0}
Resultado:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
log(x)2x2+2log(x)x2=0- \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=e2x_{2} = e^{2}
Signos de extremos en los puntos:
(1, 0)

  2     -2 
(e, 4*e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=e2x_{1} = e^{2}
Decrece en los intervalos
[1,e2]\left[1, e^{2}\right]
Crece en los intervalos
(,1][e2,)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[e^{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(log(x)23log(x)+1)x3=0\frac{2 \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 3 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e3252x_{1} = e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}
x2=e52+32x_{2} = e^{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

limx0(2(log(x)23log(x)+1)x3)=\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 3 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty
limx0+(2(log(x)23log(x)+1)x3)=\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 3 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(,e3252][e52+32,)\left(-\infty, e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}\right] \cup \left[e^{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[e3252,e52+32]\left[e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}, e^{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(log(x)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
limx(log(x)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)^2/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(log(x)2x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(log(x)2x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log(x)2x=log(x)2x\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} = - \frac{\log{\left(- x \right)}^{2}}{x}
- No
log(x)2x=log(x)2x\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} = \frac{\log{\left(- x \right)}^{2}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar