Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*sqrt(1-x^2)
-
(1/3)^x
-
(x^3+x)/(x^2+2*x+3)
-
6x^2-x^3
-
Expresiones idénticas
- uno /(x- uno)+ dos /(x- dos)+ tres /(x- tres)+ cuatro /(x- cuatro)
- 1 dividir por (x menos 1) más 2 dividir por (x menos 2) más 3 dividir por (x menos 3) más 4 dividir por (x menos 4)
- uno dividir por (x menos uno) más dos dividir por (x menos dos) más tres dividir por (x menos tres) más cuatro dividir por (x menos cuatro)
- 1/x-1+2/x-2+3/x-3+4/x-4
- 1 dividir por (x-1)+2 dividir por (x-2)+3 dividir por (x-3)+4 dividir por (x-4)
-
Expresiones semejantes
- 1/(x+1)+2/(x-2)+3/(x-3)+4/(x-4)
- 1/(x-1)+2/(x+2)+3/(x-3)+4/(x-4)
- 1/(x-1)+2/(x-2)+3/(x+3)+4/(x-4)
- 1/(x-1)-2/(x-2)+3/(x-3)+4/(x-4)
- 1/(x-1)+2/(x-2)+3/(x-3)-4/(x-4)
- 1/(x-1)+2/(x-2)+3/(x-3)+4/(x+4)
- 1/(x-1)+2/(x-2)-3/(x-3)+4/(x-4)
Gráfico de la función y = 1/(x-1)+2/(x-2)+3/(x-3)+4/(x-4)
Solución
Ha introducido
[src]
1 2 3 4
f(x) = ----- + ----- + ----- + -----
x - 1 x - 2 x - 3 x - 4
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4}$$
f = 1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + 4/(x - 4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 4$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{7}{3} + \frac{4}{9 \sqrt[3]{\frac{1}{270} + \frac{\sqrt{79} i}{30}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{270} + \frac{\sqrt{79} i}{30}}$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{7}{3} + \frac{4}{9 \sqrt[3]{\frac{1}{270} + \frac{\sqrt{79} i}{30}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{270} + \frac{\sqrt{79} i}{30}}$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{3}{\left(x - 3\right)^{2}} - \frac{4}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{3}{\left(x - 3\right)^{2}} - \frac{4}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1.43527888576768$$
$$x_{2} = 2.46298013725583$$
$$x_{3} = 3.47809449527237$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 4$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{3} = 3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 4^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{4} = 4$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1.43527888576768\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[3.47809449527237, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1.43527888576768$$
$$x_{2} = 2.46298013725583$$
$$x_{3} = 3.47809449527237$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 4$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{3} = 3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 4^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{4} = 4$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1.43527888576768\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[3.47809449527237, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 4$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + 4/(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4} = \frac{1}{- x - 1} + \frac{2}{- x - 2} + \frac{3}{- x - 3} + \frac{4}{- x - 4}$$
- No
$$\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4} = - \frac{1}{- x - 1} - \frac{2}{- x - 2} - \frac{3}{- x - 3} - \frac{4}{- x - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4} = \frac{1}{- x - 1} + \frac{2}{- x - 2} + \frac{3}{- x - 3} + \frac{4}{- x - 4}$$
- No
$$\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4} = - \frac{1}{- x - 1} - \frac{2}{- x - 2} - \frac{3}{- x - 3} - \frac{4}{- x - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar