Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/(x-1)+2/(x-2)+3/(x-3)+4/(x-4)

Gráfico de la función y = 1/(x-1)+2/(x-2)+3/(x-3)+4/(x-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         1       2       3       4  
f(x) = ----- + ----- + ----- + -----
       x - 1   x - 2   x - 3   x - 4
f(x)=((1x−1+2x−2)+3x−3)+4x−4f{\left(x \right)} = \left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4} 
f = 1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + 4/(x - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
x3=3x_{3} = 3
x4=4x_{4} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((1x−1+2x−2)+3x−3)+4x−4=0\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=73+491270+79i303+1270+79i303x_{1} = \frac{7}{3} + \frac{4}{9 \sqrt[3]{\frac{1}{270} + \frac{\sqrt{79} i}{30}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{270} + \frac{\sqrt{79} i}{30}}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + 4/(x - 4).
((1−1+2−2)+3−3)+4−4\left(\left(\frac{1}{-1} + \frac{2}{-2}\right) + \frac{3}{-3}\right) + \frac{4}{-4}
Resultado:
f(0)=−4f{\left(0 \right)} = -4
Punto:
(0, -4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1(x−1)2−2(x−2)2−3(x−3)2−4(x−4)2=0- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{3}{\left(x - 3\right)^{2}} - \frac{4}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1(x−1)3+2(x−2)3+3(x−3)3+4(x−4)3)=02 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.43527888576768x_{1} = 1.43527888576768
x2=2.46298013725583x_{2} = 2.46298013725583
x3=3.47809449527237x_{3} = 3.47809449527237
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
x3=3x_{3} = 3
x4=4x_{4} = 4

lim⁡x→1−(2(1(x−1)3+2(x−2)3+3(x−3)3+4(x−4)3))=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→1+(2(1(x−1)3+2(x−2)3+3(x−3)3+4(x−4)3))=∞\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(2(1(x−1)3+2(x−2)3+3(x−3)3+4(x−4)3))=−∞\lim_{x \to 2^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→2+(2(1(x−1)3+2(x−2)3+3(x−3)3+4(x−4)3))=∞\lim_{x \to 2^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión
lim⁡x→3−(2(1(x−1)3+2(x−2)3+3(x−3)3+4(x−4)3))=−∞\lim_{x \to 3^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→3+(2(1(x−1)3+2(x−2)3+3(x−3)3+4(x−4)3))=∞\lim_{x \to 3^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x3=3x_{3} = 3
- es el punto de flexión
lim⁡x→4−(2(1(x−1)3+2(x−2)3+3(x−3)3+4(x−4)3))=−∞\lim_{x \to 4^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→4+(2(1(x−1)3+2(x−2)3+3(x−3)3+4(x−4)3))=∞\lim_{x \to 4^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{4}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x4=4x_{4} = 4
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1.43527888576768]\left(-\infty, 1.43527888576768\right]
Convexa en los intervalos
[3.47809449527237,∞)\left[3.47809449527237, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
x3=3x_{3} = 3
x4=4x_{4} = 4
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((1x−1+2x−2)+3x−3)+4x−4)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(((1x−1+2x−2)+3x−3)+4x−4)=0\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + 4/(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((1x−1+2x−2)+3x−3)+4x−4x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(((1x−1+2x−2)+3x−3)+4x−4x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((1x−1+2x−2)+3x−3)+4x−4=1−x−1+2−x−2+3−x−3+4−x−4\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4} = \frac{1}{- x - 1} + \frac{2}{- x - 2} + \frac{3}{- x - 3} + \frac{4}{- x - 4}
- No
((1x−1+2x−2)+3x−3)+4x−4=−1−x−1−2−x−2−3−x−3−4−x−4\left(\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}\right) + \frac{3}{x - 3}\right) + \frac{4}{x - 4} = - \frac{1}{- x - 1} - \frac{2}{- x - 2} - \frac{3}{- x - 3} - \frac{4}{- x - 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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