Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
4/(x^2-1)
-
3*x^2-6*x+1
-
(3/x)-(1/x^3)
-
-3*x^2+2*x
-
Expresiones idénticas
- sin2(z- uno)
- seno de 2(z menos 1)
- seno de 2(z menos uno)
- sin2z-1
-
Expresiones semejantes
- sin2(z+1)
Gráfico de la función y = sin2(z-1)
Solución
Ha introducido
[src]
2 f(z) = sin (z - 1)
$$f{\left(z \right)} = \sin^{2}{\left(z - 1 \right)}$$
f = sin(z - 1)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(z - 1 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:
Solución analítica
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = 1 + \pi$$
Solución numérica
$$z_{1} = -74.3982234765515$$
$$z_{2} = 44.9822969010573$$
$$z_{3} = 7.28318528533671$$
$$z_{4} = -24.1327411292434$$
$$z_{5} = 73.2566309544896$$
$$z_{6} = -8.42477774336428$$
$$z_{7} = -33.5575192986956$$
$$z_{8} = -86.9645945436711$$
$$z_{9} = 10.424777860002$$
$$z_{10} = -80.681408910892$$
$$z_{11} = 88.9645940506399$$
$$z_{12} = -58.6902603656641$$
$$z_{13} = -39.8407043935162$$
$$z_{14} = -5.28318552032638$$
$$z_{15} = 7.28318556299708$$
$$z_{16} = -11.5663707193743$$
$$z_{17} = 70.1150387632651$$
$$z_{18} = 79.5398165666147$$
$$z_{19} = 1.00000008989466$$
$$z_{20} = -58.6902601613349$$
$$z_{21} = -27.2743339463623$$
$$z_{22} = -99.5309650363411$$
$$z_{23} = -20.9911484706448$$
$$z_{24} = -2.1415925493301$$
$$z_{25} = 4.1415928024571$$
$$z_{26} = 57.5486679892229$$
$$z_{27} = -46.1238897092746$$
$$z_{28} = 73.2566312860504$$
$$z_{29} = -14.7079630116455$$
$$z_{30} = -118.380521214309$$
$$z_{31} = -42.9822970324124$$
$$z_{32} = -61.8318529852173$$
$$z_{33} = 29.2743338399742$$
$$z_{34} = 85.8230017693038$$
$$z_{35} = -52.407074898757$$
$$z_{36} = -86.964594159178$$
$$z_{37} = -49.2654821047327$$
$$z_{38} = -42.9822973961636$$
$$z_{39} = -90.1061868697346$$
$$z_{40} = -14.7079632672982$$
$$z_{41} = 98.389372178087$$
$$z_{42} = 97745.3722312206$$
$$z_{43} = 76.3982235984748$$
$$z_{44} = -77.5398164571782$$
$$z_{45} = -64.9734455952915$$
$$z_{46} = -17.8495557981217$$
$$z_{47} = -49.2654826753886$$
$$z_{48} = 16.7079630573043$$
$$z_{49} = -71.2566312528174$$
$$z_{50} = 95.247779860089$$
$$z_{51} = -30.4159263210277$$
$$z_{52} = -96.3893720544106$$
$$z_{53} = -36.699111817712$$
$$z_{54} = 19.8495560304743$$
$$z_{55} = 82.6814087905806$$
$$z_{56} = 0.999999752102722$$
$$z_{57} = 29.2743341374979$$
$$z_{58} = 22.9911486490753$$
$$z_{59} = 66.9734457627567$$
$$z_{60} = -83.8230015743177$$
$$z_{61} = -64.9734459700171$$
$$z_{62} = 13.5663708342325$$
$$z_{63} = -27.2743340978911$$
$$z_{64} = 41.8407046101773$$
$$z_{65} = 26.1327414061396$$
$$z_{66} = -55.5486678779633$$
$$z_{67} = 54.4070750189247$$
$$z_{68} = 63.8318531897853$$
$$z_{69} = -93.2477798301763$$
$$z_{70} = -36.6991115864245$$
$$z_{71} = 88.964594718588$$
$$z_{72} = -93.2477796535486$$
$$z_{73} = -1114.26539293251$$
$$z_{74} = 38.6991116349999$$
$$z_{75} = 66.9734454757735$$
$$z_{76} = 32.4159264394344$$
$$z_{77} = 51.2654827118511$$
$$z_{78} = 44.9822972067506$$
$$z_{79} = -80.6814087363722$$
$$z_{80} = 60.690260212759$$
$$z_{81} = 35.5575194117619$$
$$z_{82} = 88.9645943169109$$
$$z_{83} = 95.2477795140332$$
$$z_{84} = -20.9911488221206$$
$$z_{85} = 51.2654823964173$$
$$z_{86} = 19.8495558664476$$
$$z_{87} = 51.265482350792$$
$$z_{88} = 92.1061875923409$$
$$z_{89} = 22.9911483264979$$
$$z_{90} = -77.5398172101597$$
$$z_{91} = -68.1150382894341$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(z - 1 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:
Solución analítica
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = 1 + \pi$$
Solución numérica
$$z_{1} = -74.3982234765515$$
$$z_{2} = 44.9822969010573$$
$$z_{3} = 7.28318528533671$$
$$z_{4} = -24.1327411292434$$
$$z_{5} = 73.2566309544896$$
$$z_{6} = -8.42477774336428$$
$$z_{7} = -33.5575192986956$$
$$z_{8} = -86.9645945436711$$
$$z_{9} = 10.424777860002$$
$$z_{10} = -80.681408910892$$
$$z_{11} = 88.9645940506399$$
$$z_{12} = -58.6902603656641$$
$$z_{13} = -39.8407043935162$$
$$z_{14} = -5.28318552032638$$
$$z_{15} = 7.28318556299708$$
$$z_{16} = -11.5663707193743$$
$$z_{17} = 70.1150387632651$$
$$z_{18} = 79.5398165666147$$
$$z_{19} = 1.00000008989466$$
$$z_{20} = -58.6902601613349$$
$$z_{21} = -27.2743339463623$$
$$z_{22} = -99.5309650363411$$
$$z_{23} = -20.9911484706448$$
$$z_{24} = -2.1415925493301$$
$$z_{25} = 4.1415928024571$$
$$z_{26} = 57.5486679892229$$
$$z_{27} = -46.1238897092746$$
$$z_{28} = 73.2566312860504$$
$$z_{29} = -14.7079630116455$$
$$z_{30} = -118.380521214309$$
$$z_{31} = -42.9822970324124$$
$$z_{32} = -61.8318529852173$$
$$z_{33} = 29.2743338399742$$
$$z_{34} = 85.8230017693038$$
$$z_{35} = -52.407074898757$$
$$z_{36} = -86.964594159178$$
$$z_{37} = -49.2654821047327$$
$$z_{38} = -42.9822973961636$$
$$z_{39} = -90.1061868697346$$
$$z_{40} = -14.7079632672982$$
$$z_{41} = 98.389372178087$$
$$z_{42} = 97745.3722312206$$
$$z_{43} = 76.3982235984748$$
$$z_{44} = -77.5398164571782$$
$$z_{45} = -64.9734455952915$$
$$z_{46} = -17.8495557981217$$
$$z_{47} = -49.2654826753886$$
$$z_{48} = 16.7079630573043$$
$$z_{49} = -71.2566312528174$$
$$z_{50} = 95.247779860089$$
$$z_{51} = -30.4159263210277$$
$$z_{52} = -96.3893720544106$$
$$z_{53} = -36.699111817712$$
$$z_{54} = 19.8495560304743$$
$$z_{55} = 82.6814087905806$$
$$z_{56} = 0.999999752102722$$
$$z_{57} = 29.2743341374979$$
$$z_{58} = 22.9911486490753$$
$$z_{59} = 66.9734457627567$$
$$z_{60} = -83.8230015743177$$
$$z_{61} = -64.9734459700171$$
$$z_{62} = 13.5663708342325$$
$$z_{63} = -27.2743340978911$$
$$z_{64} = 41.8407046101773$$
$$z_{65} = 26.1327414061396$$
$$z_{66} = -55.5486678779633$$
$$z_{67} = 54.4070750189247$$
$$z_{68} = 63.8318531897853$$
$$z_{69} = -93.2477798301763$$
$$z_{70} = -36.6991115864245$$
$$z_{71} = 88.964594718588$$
$$z_{72} = -93.2477796535486$$
$$z_{73} = -1114.26539293251$$
$$z_{74} = 38.6991116349999$$
$$z_{75} = 66.9734454757735$$
$$z_{76} = 32.4159264394344$$
$$z_{77} = 51.2654827118511$$
$$z_{78} = 44.9822972067506$$
$$z_{79} = -80.6814087363722$$
$$z_{80} = 60.690260212759$$
$$z_{81} = 35.5575194117619$$
$$z_{82} = 88.9645943169109$$
$$z_{83} = 95.2477795140332$$
$$z_{84} = -20.9911488221206$$
$$z_{85} = 51.2654823964173$$
$$z_{86} = 19.8495558664476$$
$$z_{87} = 51.265482350792$$
$$z_{88} = 92.1061875923409$$
$$z_{89} = 22.9911483264979$$
$$z_{90} = -77.5398172101597$$
$$z_{91} = -68.1150382894341$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(z - 1 \right)} \cos{\left(z - 1 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = 1 - \frac{\pi}{2}$$
$$z_{3} = 1 + \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$z_{1} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$z_{1} = 1 - \frac{\pi}{2}$$
$$z_{1} = 1 + \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[1 + \frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(z - 1 \right)} \cos{\left(z - 1 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = 1 - \frac{\pi}{2}$$
$$z_{3} = 1 + \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(1, 0)
pi
(1 - --, 1)
2 pi
(1 + --, 1)
2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$z_{1} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$z_{1} = 1 - \frac{\pi}{2}$$
$$z_{1} = 1 + \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[1 + \frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(- \sin^{2}{\left(z - 1 \right)} + \cos^{2}{\left(z - 1 \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$z_{1} = 1 - \frac{\pi}{4}$$
$$z_{2} = \frac{\pi}{4} + 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 - \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} + 1\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4} + 1, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(- \sin^{2}{\left(z - 1 \right)} + \cos^{2}{\left(z - 1 \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$z_{1} = 1 - \frac{\pi}{4}$$
$$z_{2} = \frac{\pi}{4} + 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 - \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} + 1\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4} + 1, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
$$\lim_{z \to -\infty} \sin^{2}{\left(z - 1 \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{z \to \infty} \sin^{2}{\left(z - 1 \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{z \to -\infty} \sin^{2}{\left(z - 1 \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{z \to \infty} \sin^{2}{\left(z - 1 \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(z - 1)^2, dividida por z con z->+oo y z ->-oo
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(z - 1 \right)}}{z}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(z - 1 \right)}}{z}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(z - 1 \right)}}{z}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(z - 1 \right)}}{z}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(z - 1 \right)} = \sin^{2}{\left(z + 1 \right)}$$
- No
$$\sin^{2}{\left(z - 1 \right)} = - \sin^{2}{\left(z + 1 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(z - 1 \right)} = \sin^{2}{\left(z + 1 \right)}$$
- No
$$\sin^{2}{\left(z - 1 \right)} = - \sin^{2}{\left(z + 1 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar