Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{8 \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x + 3} - 1\right)}{\left(x^{2} + 2 x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = -1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[-1 + \frac{\sqrt{6}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1 - \frac{\sqrt{6}}{3}, -1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$$