Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/(sqrt(5+4*x-x^2))

Gráfico de la función y = 1/(sqrt(5+4*x-x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               1        
f(x) = -----------------
          ______________
         /            2 
       \/  5 + 4*x - x
f(x)=1−x2+(4x+5)f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)}} 
f = 1/(sqrt(-x^2 + 4*x + 5))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=5x_{2} = 5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−x2+(4x+5)=0\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(sqrt(5 + 4*x - x^2)).
1−02+(0⋅4+5)\frac{1}{\sqrt{- 0^{2} + \left(0 \cdot 4 + 5\right)}}
Resultado:
f(0)=55f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{5}}{5}
Punto:
(0, sqrt(5)/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2−x−x2+(4x+5)(−x2+(4x+5))=0- \frac{2 - x}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)} \left(- x^{2} + \left(4 x + 5\right)\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(2, 1/3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(x−2)2−x2+4x+5+1(−x2+4x+5)32=0\frac{\frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 5} + 1}{\left(- x^{2} + 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=5x_{2} = 5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1−x2+(4x+5)=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1−x2+(4x+5)=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(sqrt(5 + 4*x - x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x−x2+(4x+5))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x−x2+(4x+5))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1−x2+(4x+5)=1−x2−4x+5\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)}} = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}
- No
1−x2+(4x+5)=−1−x2−4x+5\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + \left(4 x + 5\right)}} = - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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